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Was ist ein Bruch?
Wie wandelst Du eine Dezimalzahl in einen Bruch um?
Was beschreibt ein Prozent?
Was darf der Nenner eines Bruchs niemals sein?
Wie wird eine Dezimalzahl auch genannt?
Welche Rechenoperation entspricht der Multiplikation mit dem Kehrwert eines Bruchs?
Was ist eine gemischte Zahl?
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Wie kannst Du Brüche addieren?
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Feedback sendenBrüche und Dezimalzahlen sind Zahlen, die Anteile an einem Ganzen beschreiben. Mit ihnen kannst Du rechnen oder Prozente angeben. Hier lernst Du unter anderem, wie Du Brüche und Dezimalzahlen addieren und subtrahieren kannst, wie Du Prozente in Brüche und Dezimalzahlen umwandeln und wie Du Brüche und Dezimalzahlen vergleichen kannst. Außerdem findest Du im Anschluss direkt Übungen zu diesen Themen.
Die Begriffe Bruchteil und Anteil bedeuten verschiedene Dinge. Dabei spielen sie für Brüche eine große Rolle.
Stell Dir vor, Du hast einen runden Kuchen und schneidest ihn in zwölf gleich große Teile.
Der Kuchen entspricht hierbei dem Ganzen. Ein Bruchteil des Kuchens ist genau eines von den zwölf Stücken. Isst Du also zwei der Stücke, hast Du zwei Bruchteile des Kuchens gegessen.
Der Bruchteil gibt eine Teilmenge des Ganzen an. Für ihn kannst Du immer eine Einheit angeben.
Die Einheit des Kuchenbeispiels ist hier dementsprechend Stücke.
Da Du nun zwei Stücke des Kuchens gegessen hast, kann dies auch als Anteil ausgedrückt werden. Der gegessene Anteil des Kuchens ist
Der Anteil beschreibt das Verhältnis vom Bruchteil zum Ganzen.
Du kannst den Bruchteil, das Ganze oder den Anteil mithilfe einer bestimmten Formel berechnen:
Genaueres darüber erfährst Du in der Erklärung Bruchteil Anteil.
Hier bekommst Du einen Überblick zu Brüchen allgemein und zu verschiedenen Arten von Brüchen.
Du weißt also nun, wie ein Anteil ausgerechnet wird. Die Form, die dieser annimmt, wird dann Bruch genannt.
Ein Bruch ist die Trennung zweier Zahlen durch einen Bruchstrich. Die Zahl über dem Bruchstrich heißt dabei Zähler Z, die Zahl unter dem Bruchstrich wird Nenner N genannt:
Erinnerst Du Dich an die Kuchensituation?
Da Du zwei Stücke gegessen hast, ist der Anteil des Kuchens, den Du gegessen hast,
Für Brüche gibt es eine wichtige Regel. Der Bruchstrich beschreibt nichts anderes als eine Division des Zählers durch den Nenner. Da allgemein nicht durch 0 geteilt werden kann, gilt also:
Der Nenner N eines Bruchs darf niemals 0 sein.
Mehr zu Brüchen und verschiedenen Arten von Brüchen erfährst Du in der Erklärung Brucharten.
Es gibt verschiedene Arten von Brüchen. Diese lernst Du in der folgenden Tabelle Kennen
| Echte Brüche | Unechte Brüche | Gemische Brüche/Zahlen |
| Ein echter Bruch ist ein Bruch, bei dem der Zähler kleiner als der Nenner ist. | Ein unechter Bruch ist ein Bruch, bei dem der Zähler größer ist als der Nenner. | Ein gemischter Bruch besteht immer aus einer ganzen Zahl |
Mehr zu gemischten Brüchen erfährst Du weiter unten im Kapitel Gemische Zahlen und Brüche.
Genauer beschrieben findest Du die Brucharten in der gleichnamigen Erklärung.
Dezimalzahlen sind Brüche, die in Dezimalschreibweise dargestellt werden.
Eine Dezimalzahl, auch als Dezimalbruch bezeichnet, ist ein Bruch in anderer Schreibweise. In der sogenannten Dezimalschreibweise wird der Bruch als Kommazahl geschrieben.
Dabei lässt sich jeder Bruch in Dezimalschreibweise schreiben. Dafür teilst Du den Zähler des Bruchs durch seinen Nenner.
Hier siehst Du verschiedene Brüche, die in Dezimalschreibweise geschrieben werden.
Wie genau Du mit Dezimalzahlen rechnest und wie genau sie aufgebaut sind, kannst Du in der Erklärung Dezimalzahlen rechnen nachsehen.
Doch wie rechnest Du mit Brüchen? Das Bruchrechnen spielt in der Mathematik eine große Rolle, da Zahlen als Brüche oft viel genauer dargestellt werden können.
Der Anteil am Kuchen, der gegessen wurde, war
Du kannst Brüche kürzen oder erweitern. Das Kürzen beschreibt dabei ein Vereinfachen des Bruchs, indem der Zähler und Nenner durch gemeinsame Teiler verkleinert werden. Das Erweitern ist das Gegenteil davon. Wie das Kürzen und Erweitern jeweils funktioniert, erfährst Du in folgenden Erklärungen:
Um Brüche addieren oder subtrahieren zu können, müssen sie denselben Nenner besitzen.
Hast Du zwei oder mehr Brüche gegeben, kannst Du sie addieren oder subtrahieren, indem Du sie auf den gleichen Nenner erweiterst oder kürzt. Besitzen zwei Brüche den gleichen Nenner, kannst Du ihre Zähler miteinander addieren oder voneinander subtrahieren. Der Nenner bleibt dabei fest.
Wie das aussehen kann, siehst Du in den folgenden zwei Beispielen.
Die Brüche
Da die 7 eine Primzahl ist, besitzt sie keine gemeinsamen Teiler mit der 20. Daher kann das Ergebnis nicht weiter gekürzt werden.
Möchtest Du nun den Bruch
Dieses Ergebnis kann noch mit zwei gekürzt werden:
Die Multiplikation von Brüchen ist im Vergleich zur Addition und Subtraktion etwas schneller.
Möchtest Du zwei Brüche multiplizieren, multiplizierst Du ihre Zähler
Sieh Dir dafür folgendes Beispiel an.
Die Brüche
Diesen Bruch kannst Du kürzen:
Für die Division zweier Brüche benötigst Du den sogenannten Kehrbruch einer der Brüche.
Der Kehrwert einer beliebigen Zahl x ist diejenige Zahl, die mit x multipliziert 1 ergibt. Die Zahl 0 wird dabei ausgeschlossen.
Ein Kehrbruch eines Bruchs
Um den Kehrwert eines Bruchs, also den Kehrbruch, zu bilden, werden Zähler und Nenner vertauscht.
Anstatt nun durch den Bruch zu dividieren, kannst Du mit dem Kehrbruch multiplizieren.
Alles über Kehrwerte und Kehrbrüche findest Du in der Erklärung Kehrwert.
Bei der Division zweier Brüche
Hier kannst Du Dir das genaue Vorgehen anhand eines Beispiels ansehen.
Gegeben ist die Aufgabe
Gekürzt lautet das Ergebnis dann
Mehr über das Rechnen mit Brüchen erfährst Du in der Erklärung Bruchrechnen.
Möglicherweise hast Du schon mal von gemischten Zahlen und Brüchen gehört.
Doch was genau ist eine gemischte Zahl?
Eine gemischte Zahl, auch gemischter Bruch genannt, ist eine rationale Zahl, die aus einer ganzen Zahl und einem Bruch besteht.
Gemischte Zahlen können also z.B.
Möchtest Du eine gemischte Zahl in einen Bruch umwandeln, so kannst Du wie folgt vorgehen:
| Vorgehen | Beispiel |
| 1. Schreibe die ganze Zahl in einen Bruch um, indem Du sie in den Zähler und eine 1 in den Nenner schreibst. | Gegeben ist die gemischte Zahl |
| 2. Jetzt bringst Du diesen Bruch auf denselben Nenner des zweiten Bruchs. | Hier musst Du also |
| 3. Zuletzt addierst Du beide Brüche und kürzt den Bruch, falls dies möglich ist. |
Bei dieser Art von Brüchen, bei denen der Zähler größer als der Nenner ist, handelt es sich dann um sogenannte unechte Brüche.
Möchtest Du eine gemischte Zahl in eine Dezimalzahl umwandeln, geht das so:
| Vorgehen | Beispiel |
| 1. Die vordere Zahl bleibt stehen und Du schreibst ein + zwischen die Zahl und den Bruch. | Gegeben ist die gemischte Zahl |
| 2. Du wandelst den Bruch in eine Dezimalzahl um, indem Du Zähler durch Nenner teilst. | Du rechnest |
| 3. Du addierst beide Dezimalzahlen miteinander. | Du addierst |
Möchtest Du Dezimalzahlen miteinander verrechnen, z. B. addieren oder dividieren, so kannst Du das genau so tun wie mit natürlichen Zahlen. Du solltest lediglich beachten, an welcher Stelle das Komma steht.
Mit Dezimalzahlen rechnest Du ähnlich wie mit den Zahlen, die Du bereits kennst. So kannst Du Dezimalzahlen (schriftlich) addieren und subtrahieren. Auch das (schriftliche) multiplizieren und dividieren funktioniert wie die Multiplikation bzw. Division natürlicher Zahlen. Dabei lässt Du das Komma zunächst außer Acht und fügst es am Ende an der passenden Stelle ein.
Damit Du Dir vorstellen kannst, wo genau das Komma eingefügt werden sollte, findest Du hier eine Beispielrechnung:
Bei der (schriftlichen) Addition kannst Du so rechnen wie mit natürlichen Zahlen. Schreibe bei der schriftlichen Addition jedoch immer die jeweiligen Kommata untereinander und ziehe sie am Ende mit nach unten an die passende Stelle:
Die (schriftliche Subtraktion) funktioniert nach dem gleichen Prinzip.
Möchtest Du zwei Dezimalzahlen (schriftlich) multiplizieren, so werden zunächst alle Kommata ignoriert. Du rechnest also eine ganz normale (schriftliche) Multiplikation zweier Zahlen:
Dein Ergebnis enthält noch kein Komma. Dazu musst Du noch die richtige Stelle ermitteln. Du addierst die Anzahl der Nachkommastellen für jede Dezimalzahl. Die Summe zeigt dir die Anzahl der Nachkommastellen, die dein Produkt besitzen muss. Du fügst das Komma also an entsprechender Stelle ein:
Bei der (schriftlichen) Division kannst Du das Komma in beiden Zahlen um gleich viele Stellen nach rechts verschieben, um durch eine ganze Zahl teilen zu können. Das Ergebnis verändert sich dadurch nicht. Dann ignorierst Du auch hier das Komma und berechnest ganz normal den Quotienten:
Mehr zum Rechnen mit Dezimalzahlen erfährst Du in der Erklärung Dezimalzahlen rechnen.
Wie Du mit Brüchen rechnest, konntest Du hier bereits erfahren. Doch was tust Du, wenn Du plötzlich Brüche und Dezimalzahlen miteinander verrechnen sollst?
Beim Rechnen mit Brüchen und Dezimalzahlen bietet es sich oft an, alle gegebenen Zahlen entweder in Dezimalzahlen oder in Brüche umzuwandeln. Manchmal kannst Du jedoch so geschickt rechnen, dass Du nicht umwandeln musst.
Gegeben ist die Aufgabe
Auch bei der Subtraktion bietet es sich meist an, alle gegebenen Werte entweder in Brüche oder in Dezimalzahlen umzuwandeln. Wie Du eine Dezimalzahl in einen Bruch umwandelst und umgekehrt erfährst Du in folgenden zwei Erklärungen:
Multiplizierst Du einen Bruch mit einer (Dezimal-)Zahl, so multiplizierst Du lediglich den Zähler des Bruchs mit der Zahl.
Sollst Du die Zahl 1,5 mit dem Bruch
Möchtest Du eine Dezimalzahl durch einen Bruch dividieren, kannst Du auch hier mit dem Kehrbruch multiplizieren.
Anstelle von
Möchtest Du andersherum einen Bruch durch eine Dezimalzahl dividieren, so multiplizierst Du den Nenner des Bruchs mit der Dezimalzahl. Das ist möglich, da ein Bruchstrich nichts anderes als eine Division darstellt.
Gegeben ist die Aufgabe
Der Bruch wurde im letzten Schritt gekürzt.
Es kann vorkommen, dass Du eine Menge an Brüchen und Dezimalzahlen gegeben hast und diese der Größe nach ordnen sollst.
Bei Dezimalzahlen mag dies ja noch recht übersichtlich sein, doch wie ist das mit Brüchen? Ist der Bruch
Wie Du vorgehst, hängt davon ab, wie deine Brüche aussehen. Das Vorgehen für verschiedene Brüche kannst Du Dir in folgender Tabelle ansehen:
| Brüche mit gleichem Nenner (gleichnamige Brüche) | Brüche mit gleichem Zähler | Brüche mit unterschiedlichen Nennern und Zählern |
Bei gleichnamigen Brüchen ist immer der Bruch mit größerem Zähler größer. | Haben Brüche einen gleichen Zähler, so ist der Bruch mit dem kleineren Nenner größer. | Hast Du zwei oder mehrere Brüche vorliegen, die weder einen gleichen Nenner noch einen gleichen Zähler haben, kannst Du die Brüche nicht auf einen Blick anordnen. Dann kannst Du die Brüche durch Kürzen und Erweitern gleichnamig machen oder sie in Dezimalzahlen umwandeln. |
Bei gleichnamigen Brüchen ist immer der Bruch mit größerem Zähler größer.
Sieh Dir dazu am besten direkt folgendes Beispiel an.
Gegeben sind die Brüche
Sie sollen der Größe nach in aufsteigender Reihenfolge geordnet werden.
Zunächst siehst Du Dir die ersten beiden Brüche an:
Der Bruch
Er ist also kleiner und liegt damit zwischen
Mehr zu diesem Thema erfährst Du in der Erklärung Brüche vergleichen und ordnen.
Für die Umrechnung einer Prozentangabe in Brüche gibt es eine konkrete Formel. Das Wort „Prozent“ ist abgeleitet aus dem italienischen und bedeutet so viel wie „bezogen auf Hundert“.
Möchtest Du eine gegebene Prozentzahl in eine Dezimalzahl umwandeln, so dividierst Du die Prozentzahl ebenfalls durch 100. Es passiert also nichts anderes als bei der Bruchschreibweise.
Du kannst Prozente in Dezimalzahlen umwandeln, indem Du sie durch 100 dividierst:
Umgekehrt kannst Du natürlich auch Dezimalzahlen in Prozent umrechnen, indem Du sie mit 100 multiplizierst.
Schreibe 55% als Bruch und Dezimalzahl.
Als Bruch gilt
Für die Dezimalzahl gilt
Wenn Du mehr über Prozente erfahren willst, sieh Dir gerne die Erklärung Prozent an.
In dieser Erklärung konntest Du nun einiges über Brüche und Dezimalzahlen sowie das Rechnen mit ihnen erfahren. Hier findest Du nun ein paar Aufgaben, mit denen Du üben kannst.
Aufgabe 1
Berechne die folgenden Aufgaben.
a)
b)
Lösung
a) Hier wird der zweite Bruch mit 4 erweitert, damit die Brüche gleichnamig sind und addiert werden können.
b) Zuerst bringst Du beide Brüche auf den gleichen Nenner, um sie zu addieren. Hier bietet sich 12 als gemeinsamer Nenner an. Dann multiplizierst Du mit 1,5.
Aufgabe 2
Eine Pizzeria bekommt eine Lieferung von 25 Tüten Mehl. Eine halbe Tüte ist noch da. Jede der Tüten wiegt
Lösung
Die Pizzeria bekommt eine Lieferung von 25 Tüten und besitzt noch eine halbe Tüte. Das sind also 25,5 Tüten. Diese multiplizierst Du mit dem Gewicht einer einzelnen Tüte. Dafür kannst Du die gemischte Zahl vorab in einen Bruch umwandeln:
Jede Tüte wiegt also
Nun kannst Du die Anzahl der Tüten mit ihrem Gewicht multiplizieren:
Die Pizzeria besitzt also
Aufgabe 3
Sortiere die Zahlen nach Größe. Beginne dabei mit der kleinsten.
a)
b)
Lösung
a) Die richtige Reihenfolge ist
b) Hier bietet es sich an, den Bruch in Dezimalschreibweise zu schreiben:
Damit lautet die Reihenfolge
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Kann man jede Dezimalzahl in einen Bruch umwandeln?
Ja, jede (Dezimal-)Zahl kann als Bruch dargestellt werden. Dafür zählst Du die Nachkommastellen und notierst sie als Division mit Zehnerpotenz.
Wie rechnet man einen Bruch in eine Dezimalzahl um?
Du kannst einen Bruch als Dezimalzahl schreiben, indem Du seinen Zähler durch den Nenner teilst.
Beispiel: 1/2 ist 1 : 2 = 0,5.
Wie kommt man von Dezimalzahl auf Bruch?
Du schreibst die Dezimalzahl ohne Komma in den Zähler. In den Nenner schreibst Du eine 1 und so viele Nullen, wie die Dezimalzahl Nachkommastellen hat.
Beispiel: 3,14 = 314/100.
Was ist der Unterschied zwischen einem Bruch und einer Dezimalzahl?
Beides sind Schreibweisen für Zahlen. Jede Dezimalzahl kann als Bruch dargestellt werden. Ein Bruch besteht aus zwei Zahlen, die durch einen Bruchstrich getrennt werden. Eine Dezimalzahl dagegen ist eine Kommazahl mit Stellen vor und nach dem Komma.
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Gabriel Freitas ist AI Engineer mit solider Erfahrung in Softwareentwicklung, maschinellen Lernalgorithmen und generativer KI, einschließlich Anwendungen großer Sprachmodelle (LLMs). Er hat Elektrotechnik an der Universität von São Paulo studiert und macht aktuell seinen MSc in Computertechnik an der Universität von Campinas mit Schwerpunkt auf maschinellem Lernen. Gabriel hat einen starken Hintergrund in Software-Engineering und hat an Projekten zu Computer Vision, Embedded AI und LLM-Anwendungen gearbeitet.
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