Potenzfunktionen

Hier siehst Du ein Beispiel der Potenzfunktionen:$$\begin{array}{rl}f(x)& =x^2\\ g(x)& =x^8\end{array}$$

Abb. 2: Gerader positiver Exponent

Das ist einmal die Parabel zweiter und achter Ordnung, weil die Parabeln einen Exponenten von $2$ und $8$ haben.

Nun siehst Du zwei Potenzfunktionen $f(x)$ und $g(x)$ mit positiven ungeraden Exponenten.

$$\begin{array}{rl}f(x)& =x^3\\ g(x)& =x^9\end{array}$$

Abb. 3: Ungerader positiver Exponent

Auf der Abbildung siehst Du einer Parabel dritter und neunter Ordnung.

In diesem Beispiel siehst Du die Potenzfunktionen $f(x)$ und $g(x)$ mit geraden negativen Exponenten.

$$\begin{array}{rl}f(x)& =x^{-2}\\ g(x)& =x^{-8}\end{array}$$

Abb. 4: Gerader negativer Exponent

Diese Hyperbeln entsprechen der zweiten und achten Ordnung.

In diesem Beispiel siehst Du Potenzfunktionen $f(x)$ und $g(x)$ mit ungeraden negativen Exponenten.

$$\begin{array}{rl}f(x)& =x^{-1}\\ g(x)& =x^{-9}\end{array}$$

Abb. 5: Ungerader negativer Exponent

Hier siehst Du Hyperbeln erster und neunter Ordnung.

Aufgabe 1

Zeichne die Parabel $f(x)=x^2+3$ ins Koordinatensystem ein.

Lösung

Schritt 1:

Die Funktion hat Eigenschaften, die anhand der Zahl vor dem $x^2$ abgelesen werden können. \/x^2\) ist eine Normalparabel und somit nach oben geöffnet.

Schritt 2:

Zuerst erstellst Du eine Wertetabelle mit beliebigen $x$-Werten.

Schritt 3:

Diese $x$-Werte setzt Du jetzt in die Funktion ein und berechnest die zugehörigen $y$-Werte.

$$\begin{array}{rl}f(-1)& =(-1{)}^2+3\\ & =1+3\\ & =4\end{array}$$

Der zugehörige y-Wert zu $x_1=-1$ ist $y_1=4$. Jetzt wird der y-Achsenabschnitt berechnet.

$$\begin{array}{rl}f(0)& =0^2+3\\ & =3\end{array}$$

Der y-Achsenabschnitt ist bei $y_2=3$. Dann wird der y-Wert zu $x_3=2$ berechnet.

$$\begin{array}{rl}f(2)& =2^2+3\\ & =4+3\\ & =7\end{array}$$

Der zugehörige y-Wert zu ${}_3=2$ ist $y_3=7$. Diese y-Werte werden jetzt alle in die Wertetabelle eingesetzt.

Schritt 4:

Diese Werte werden nun in Punkte umgewandelt, die dann ins Koordinatensystem eingezeichnet werden.

$$P_1(-1|4)P_2(0|3)P_3(2|7)$$

Abb. 6: Potenzfunktion zeichnen

Schritt 5:

Jetzt, wo Du die Punkte $P_1$, $P_2$ und $P_3$ eingezeichnet hast, musst Du diese nur noch verbinden.

Abb. 7: Potenzfunktion zeichnen

Jetzt hast Du eine fertige achsensymmetrische Potenzfunktion $f(x)$ zweiter Ordnung.

Aufgabe 2

Verschiebe die Potenzfunktion $f(x)$ um $4$ nach oben und um $2$ nach rechts.

$$f(x)=2(x+1{)}^2-3$$

Abb. 8: Potenzfunktion verschieben

Lösung

Um die Potenzfunktion $f(x)$ zu verschieben, musst Du $4$ auf den y-Achsenabschnitt addieren und $2$ vom x-Wert abziehen.

$$\begin{array}{rl}f(x)& =2(x+1-2{)}^2-3+4\\ & =2(x-1{)}^2+1\end{array}$$

ABb. 9: Potenzfunktion verschieben

Hier erkennst Du, dass die Potenzfunktion $f(x)$ um $2$ nach rechts und um $4$ nach oben verschoben wurde.

Aufgabe 3

Zeichne die Potenzfunktion $f(x)=x^3+1$ ins Koordinatensystem ein.

Lösung

Die Parabel ist eine Parabel dritter Ordnung.

Zuerst erstellst Du eine Wertetabelle mit beliebigen $x$-Werten.

Diese $x$-Werte setzt Du jetzt in die Funktion ein und berechnest die zugehörigen $y$-Werte.

$$\begin{array}{rl}f(-1)& =(-1{)}^3+1\\ & =-1+1\\ & =0\end{array}$$

Der zugehörige y-Wert zu $x_1=-1$ ist $y_1=$. Jetzt wird der y-Achsenabschnitt berechnet.

$$\begin{array}{rl}f(0)& =0^3+1\\ & =1\end{array}$$

Der y-Achsenabschnitt ist bei $y_2=1$. Dann wird der y-Wert zu $x_3=2$ berechnet.

$$\begin{array}{rl}f(2)& =2^3+1\\ & =8+1\\ & =9\end{array}$$

Der zugehörige y-Wert zu $x_3=2$ ist $y_3=9$. Diese y-Werte werden jetzt alle in die Wertetabelle eingesetzt.

Diese Werte werden nun in Punkte umgewandelt, die dann ins Koordinatensystem eingezeichnet werden.

$$P_1(-1|0)P_2(0|1)P_3(2|9)$$

Abb. 9: Potenzfunktion zeichnen

Jetzt, wo Du die Punkte $P_1$, $P_2$ und $P_3$ eingezeichnet hast, musst Du diese nur noch verbinden.

Abb. 10: Potenzfunktion zeichnen

Jetzt hast Du eine fertige achsensymmetrische Potenzfunktion $f(x)$ dritter Ordnung.

Aufgabe 4

Verschiebe die Potenzfunktion $f(x)=2(x-2{)}^2+1$ um $3$ nach unten und um $5$ nach links.

Abb. 11: Potenzfunktion verschieben

Lösung

Um die Potenzfunktion $f(x)$ nun zu verschieben, musst Du $3$ vom y-Achsenabschnitt subtrahieren und $5$ zum x-Wert addieren.

$$\begin{array}{rl}f(x)& =2(x-2+5{)}^2+1-3\\ & =2(x+3{)}^2-2\end{array}$$

Abb. 12: Potenzfunktion verschieben

Hier erkennst Du, dass die Potenzfunktion um $3$ nach unten und um $5$ nach links verschoben wurde.