Relativistische Masse

Du fliegst mit einem Raumschiff durchs Weltall. Du beschleunigst dabei immer weiter. Allerdings weißt Du ja auch, dass außer Licht, nichts die Lichtgeschwindigkeit erreichen kann.

Du bewegst Dich also mit fast der Lichtgeschwindigkeit durchs All, beschleunigst aber weiterhin. Das bedeutet, dass auch die kinetische Energie zunehmen müsste. Mehr Energie kannst Du aber bekommen. Diese zusätzliche Energie, die durch die Beschleunigung entstehen sollte, wird in Energie umgewandelt, denn die Geschwindigkeit ist ja nicht weiter zu steigern.

In der Formel von Einstein steckt demnach genau dieses Verhalten:

$$E=m\cdot c^2$$

Die Energie kann also zu Masse werden, was auch die relativistische Massenzunahme erklärt. Die Lichtgeschwindigkeit ist ja eine konstante, also sind die Energie $E$ und die Masse $m$ proportional zueinander.

Ein Unfall, bei dem ein Auto gegen eine Wand fährt, wird aus zwei Perspektiven beobachtet. Die Perspektive A, also das erste Inertialsystem steht ruhend außen, das zweite Inertialsystem aus Perspektive B bewegt sich quer dazu, entlang der x-Achse in einem vorbeifahrenden Zug.

Aus der Perspektive A und B geschieht genau dasselbe, das Auto fährt in die Wand. Allerdings geschieht das Ganze aus der Perspektive im Zug etwas verzehrt, weil die Gleichzeitigkeit nicht klar ist. Für die Person im Zug vergeht der Unfall langsamer als für die Person A.

Der Impuls $p$ von System A aus gesehen, ist gleichzusetzen mit dem Impuls $p^{\prime }$ aus der Perspektive B, weil der Unfall verändert sich aus beiden Perspektiven nicht, weil dieser ein absolutes, also in allen Systemen gleiches Ereignis ist.

$$p=p^{\prime }$$

Daraus kannst Du mithilfe der Formel für den Impuls der Newtonschen Mechanik $p=m\cdot v$ weitermachen. Es gilt weiterhin, dass die physikalischen Größen mit \('\) für das System der Perspektive B gelten.

$$m\cdot v=m^{\prime }\cdot v^{\prime }$$

Du suchst ja die relativistische Masse und solltest dementsprechend nach $m^{\prime }$ umstellen.

$$m^{\prime }=m\cdot \frac{v}{v^{\prime }}$$

Für die Geschwindigkeit kannst Du im nächsten Schritt Formeln einfügen, die die relativistischen Effekte des Ereignisses berücksichtigen, also die Zeitdilatation und die Längenkontraktion. Für die Geschwindigkeit wird zunächst die Formel $v=\frac{\mathrm{△}{s}_y}{\mathrm{△}{t}_0}$ verwendet. Für die Perspektive A bedeutet das:

$$v=\frac{\mathrm{△}{s}_y}{\mathrm{△}{t}_0}$$

Für die Perspektive zwei, also $v^{\prime }$, wird die Zeitdilatation berücksichtigt, indem Du die Zeitdifferenz $\mathrm{△}t$ verwendest.

$$v^{\prime }=\frac{\mathrm{△}{s}_y^{\prime }}{\mathrm{△}t}$$

Du kannst die Längen $\mathrm{△}{s}_y$ und $\mathrm{△}{s}_y^{\prime }$ gleichsetzen, weil es zu keiner Längenkontraktion in y-Richtung kommt. Längenkontraktion findet nämlich nur in der Bewegungsrichtung statt. Mehr dazu kannst Du in der entsprechenden Erklärung lesen.

$$\mathrm{△}{s}_y=\mathrm{△}{s}_y^{\prime }$$

Wenn Du diesen Ansatz verstanden hast, kannst Du mit diesen Einzelteilen die Relativistische Masse herleiten.

Aufgabe

Berechne die relativistische Masse $m_{rel}$ eines Elektrons, welches sich mit 60 % der Lichtgeschwindigkeit bewegt.

Lösung

Die Formel zur Berechnung der relativistischen Masse ist Dir ja mittlerweile bekannt.

$$m^{\prime }=\frac{m}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$

In diese Formel kannst Du die Ruhemasse eines Elektrons einsetzen $m_0=9,11\cdot {10}^{-31}kg$. Für die Geschwindigkeit $v$ und $c$ kannst Du auch nur das Verhältnis aufschreiben:

$$m^{\prime }=\frac{9,11\cdot {10}^{-31}kg}{\sqrt{1-\frac{0,6c^2}{1c^2}}}$$

Die relativistische Masse eines Elektrons mit einer Geschwindigkeit von $v=0,6c$ ist :

$$m=1,14\cdot {10}^{-30}kg$$

Aufgabe

Die relativistische Massenzunahme beträgt 5 %. Wie schnell muss sich der Körper bewegen, damit es zu einer solchen Massenzunahme kommt?

Lösung

Zuerst ziehst Du Dir die Formel für die relativistische Masse zur Hilfe.

$$m^{\prime }=\frac{m}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$

Du kennst ja in dieser Aufgabe das Verhältnis von Ruhemasse und relativistischer Masse, also formst Du auch die Formel dementsprechend um.

$$\frac{m^{\prime }}{m}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$

Für das Verhältnis kannst Du $\frac{m^{\prime }}{m}=1,05$ verwenden, weil die relativistische Masse ja 5 % größer ist als die Ruhemasse $m$.

$$1,05=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$

Die Formel wird jetzt noch einmal umgestellt, sodass die Wurzel alleine auf einer Seite steht.

$$\frac{1}{1,05}=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$$

Du quadrierst im nächsten Schritt beide Seiten und rechnest zusätzlich $|-1$.

$$\frac{1}{1,{05}^2}-1=-\frac{v^2}{c^2}$$

Zum Vereinfachen wird im nächsten Schritt eine Zeichenumkehr gemacht und mit $|\cdot c^2$ multipliziert.

$$1-\frac{1}{1,{05}^2}\cdot c^2=v^2$$

Du fasst am besten in diesem Schritt die linke Seite der Klammer zusammen.

$$\frac{41}{441}\cdot c^2=v^2$$

Im letzten Schritt ziehst Du noch einmal die Wurzel und erhältst folgendes Ergebnis.

$$v=0,30\cdot c$$

Die Geschwindigkeit, die für eine fünfprozentige Massenzunahme notwendig ist, ist 30 % der Lichtgeschwindigkeit.