Mathe Abitur Bayern

1. DefinitionsMenge (D) bestimmen:

• Der natürliche Logarithmus $\ln (x)$ ist definiert für alle $x>0$. Da wir hier $\ln (x-3)$ haben, muss $x-3>0$ sein.
• $x-3>0$
• $x>3$

Also, $D=$ ]3, $\mathrm{\infty }$[.

2. Nullstelle bestimmen:

• Eine Nullstelle einer Funktion ist ein Punkt, bei dem $f(x)=0$.
• Um die Nullstelle zu finden, setzt man die Funktion gleich null und löst nach $x$ auf.
• $f(x)=\ln (x-3)=0$

Für den natürlichen Logarithmus wissen wir, dass $\ln (1)=0$. Also muss gelten:

$x-3=1$

$x=4$

Antwort a):

• $D=$ ]3, $\mathrm{\infty }$[
• Die Nullstelle von $f$ ist $x=4$.

1. Ableitung von $f(x)$ bestimmen:

• Die Ableitung von $\ln (x)$ ist $\frac{1}{x}$. Daher ist die Ableitung von $\ln (x-3)$ mithilfe der Kettenregel $\frac{1}{x-3}$.
• Somit $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x-3}$.

2. Ermitteln der Stelle, für die $f^{\prime }(x)=2$ gilt:

• $\frac{1}{x-3}=2$
• Umformen des Bruches ergibt: $1=2(x-3)$
• Ausmultiplizieren: $1=2x-6$
• Umstellen nach $x$: $x=\frac{7}{2}=3.5$

Antwort b)

Die Stelle $x$, für die $f^{\prime }(x)=2$ gilt, ist $x=3.5$.

Waagrechte Asymptote:

Eine waagrechte Asymptote beschreibt den Grenzwert einer Funktion, wenn $x$ gegen $\mathrm{\infty }$ oder $-\mathrm{\infty }$ geht. Das bedeutet, dass wir folgende Grenzwerte bestimmen müssen:

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}g(x)$$

$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}g(x)$$

1. $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}g(x)$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{1}{x^2}-1)$$

Da $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x^2}$ gleich 0 ist, erhalten wir:

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{1}{x^2}-1)=0-1=-1$$

2. $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}g(x)$

$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}(\frac{1}{x^2}-1)$$

Da $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x^2}$ ebenfalls 0 ist, erhalten wir:

$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}(\frac{1}{x^2}-1)=0-1=-1$$

Da beide Grenzwerte -1 sind, ergibt sich die Gleichung der waagrechten Asymptote als:

$$y=-1$$

Wertemenge von $g$:

Da $\frac{1}{x^2}$ immer positive Werte für $x\ne 0$ annimmt und wir davon 1 abziehen, wird $g(x)$ immer negative Werte annehmen. Das Minimum erreicht $g(x)$ bei $x=0$, aber da der Definitionsbereich $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ ist, wird $g(x)$ nie 0 erreichen. Daher ist die Wertemenge:

$$W(g)=]-\mathrm{\infty };0[$$

Antwort a)

Die waagrechte Asymptote des Graphen von $g$ ist $y=-1$. Die Wertemenge von $g$ ist $]-\mathrm{\infty };0[$.

Um das Integral von $g(x)$ zwischen $\frac{1}{2}$ und 2 zu berechnen, integrieren wir die Funktion:

$$\int g(x)dx=\int (\frac{1}{x^2}-1)dx$$

Integrieren ergibt:

$$-\frac{1}{x}-x+C$$

Berechnen Sie den bestimmten Wert des Integrals:

$${\int }_{\frac{1}{2}}^{2}g(x)dx={[-\frac{1}{x}-x]}_{\frac{1}{2}}^2$$

Setzen Sie die Grenzen ein:

$$(-\frac{1}{2}-2)-(-2-\frac{1}{2})$$

$$=-\frac{5}{2}+\frac{5}{2}=0$$

Antwort b)

Der Wert des Integrals ${\int }_{\frac{1}{2}}^{2}g(x)dx$ ist 0.

Begründung für den Grad von $f$ mindestens 3:

• $f$ hat bei $x_1$ eine Nullstelle. Dies zeigt, dass der Grad von $f$ mindestens 1 sein muss.
• $f^{\prime }(x_2)=0$ und $f^{″}(x_2)\ne 0$. Das bedeutet, dass $f$ an der Stelle $x_2$ einen Extrempunkt hat.
• $f^{\prime }$ hat ein lokales Minimum an der Stelle $x_3$. Ein lokales Minimum in der ersten Ableitung impliziert, dass $f^{\prime }$ an dieser Stelle eine Nullstelle hat. Dies bedeutet auch, dass $f^{″}(x_3)=0$ (vorausgesetzt $f^{″}(x_3)$ existiert). Dies ist auch ein Hinweis darauf, dass der Grad von $f$ mindestens 3 ist, um eine zweite Ableitung zu ermöglichen, die nicht konstant ist.

Der Grad von $f$ muss also mindestens 3 sein, um alle gegebenen Eigenschaften und Bedingungen zu erfüllen.

Um die Koordinaten des Tiefpunktes der Funktion $h(x)=-g(x-3)$ zu bestimmen, müssen wir verstehen, wie diese Transformation den Graphen von $g$ beeinflusst:

Vertikale Spiegelung: Durch das Vorzeichen vor $g$ wird der Graph von $g$ an der x-Achse gespiegelt. Dies bedeutet, dass Hochpunkte zu Tiefpunkten werden und umgekehrt.

Horizontale Verschiebung: Durch die Subtraktion von 3 im Argument von $g$ wird der Graph von $g$ um 3 Einheiten nach rechts verschoben.

Betrachten Sie nun die gegebenen Extrempunkte von $g$:

Extrempunkt 1: $(-1|1)$

• Nach der vertikalen Spiegelung wird dieser Punkt zu $(-1|-1)$.
• Nach der horizontalen Verschiebung wird dieser Punkt zu $(2|-1)$.

Extrempunkt 2: $(0|0)$

• Nach der vertikalen Spiegelung bleibt dieser Punkt bei $(0|0)$, da er auf der x-Achse liegt.
• Nach der horizontalen Verschiebung wird dieser Punkt zu $(3|0)$.

Da der Punkt $(-1|1)$ in $g$ ein Hochpunkt war, wird der Punkt $(2|-1)$ in $h$ ein Tiefpunkt sein.

Antwort a)

Die Koordinaten des Tiefpunkts des Graphen der Funktion $h$ sind $(2|-1)$.

Berechnung der Koordinaten des Schnittpunkts von $G_f$ mit der y-Achse:

Ein Graph schneidet die y-Achse, wenn $x=0$. Daher:

$$f(0)=2e^{-\frac{1}{8}\times 0^2}=2e^0=2$$

Der Schnittpunkt ist also (0, 2).

Nachweis, dass $G_f$ symmetrisch bezüglich der y-Achse ist:

Eine Funktion ist symmetrisch zur y-Achse, wenn $f(x)=f(-x)$ für alle $x$ im Definitionsbereich gilt.

$$f(-x)=2e^{-\frac{1}{8}(-x{)}^2}=2e^{-\frac{1}{8}{x}^2}$$

Da $f(x)=2e^{-\frac{1}{8}{x}^2}$ und $f(-x)=2e^{-\frac{1}{8}{x}^2}$ gleich sind, ist die Funktion symmetrisch zur y-Achse.

Antwort a)

Der Schnittpunkt von $G_f$ mit der y-Achse ist (0, 2) und $G_f$ ist symmetrisch zur y-Achse.

Aufgabe 1b)

1. Bestimmen der Tangentengleichung am Wendepunkt $W$:

Die Tangente an einen Punkt des Graphen einer Funktion hat die Steigung $f^{\prime }(x)$ an dieser Stelle.

Die Steigung im Punkt $W(-2,2e^{\frac{-1}{2}})$ ist $f^{\prime }(-2)$.

Gegeben ist:

$$f^{\prime }(x)=-\frac{1}{2}{e}^{\frac{-1}{8}{x}^2}\cdot e^{-x}$$

Einsetzen von $x=-2$ ergibt:

$$f^{\prime }(-2)=-\frac{1}{2}{e}^{\frac{-1}{8}(-2{)}^2}\cdot e^2$$

Berechnung von $f^{\prime }(-2)$:

$$f^{\prime }(-2)=-\frac{1}{2}{e}^{-\frac{1}{2}}\cdot e^2$$

Die allgemeine Gleichung einer Tangente ist:

$$y=mx+b$$

wobei $m$ die Steigung und $b$ der y-Achsenabschnitt ist.

Einsetzen des Punktes $W(-2,2e^{\frac{-1}{2}})$ in die Tangentengleichung ergibt:

$$2e^{\frac{-1}{2}}=m(-2)+b$$

Mit $m=-\frac{1}{2}{e}^{-\frac{1}{2}}\cdot e^2$:

$$2e^{\frac{-1}{2}}=2e^{-\frac{1}{2}}\cdot e^2+b$$

Daraus lässt sich $b$ berechnen.

2. Berechnung des Schnittpunkts der Tangente $w$ mit der x-Achse:

Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist der Punkt, an dem $y=0$. Einsetzen in die Tangentengleichung ergibt:

$$0=m\cdot x+b$$

Einsetzen von $m$ und $b$ (aus vorherigen Schritten) und Lösen nach $x$ gibt den Schnittpunkt.

Fangen wir nun mit der tatsächlichen Rechnung an:

1. Bestimmen der Tangentengleichung am Wendepunkt $W$:

$$f^{\prime }(-2)=-\frac{1}{2}{e}^{-\frac{1}{2}}\cdot e^2$$

$$2e^{\frac{-1}{2}}=2e^{-\frac{1}{2}}\cdot e^2+b$$

Daraus ergibt sich:

$$b=2e^{\frac{-1}{2}}+2e^{-\frac{1}{2}}\cdot e^2$$

Die Gleichung der Tangente $w$ ist daher:

$$y=-\frac{1}{2}{e}^{-\frac{1}{2}}\cdot e^2\cdot x+2e^{\frac{-1}{2}}+2e^{-\frac{1}{2}}\cdot e^2$$

2. Berechnung des Schnittpunkts der Tangente $w$ mit der x-Achse:

$$0=-\frac{1}{2}{e}^{-\frac{1}{2}}\cdot e^2\cdot x+2e^{\frac{-1}{2}}+2e^{-\frac{1}{2}}\cdot e^2$$

Umstellen der Gleichung nach $x$:

$$\begin{array}{rl}\frac{1}{2}{e}^{-\frac{1}{2}}\cdot e^2\cdot x& =2e^{\frac{-1}{2}}+2e^{-\frac{1}{2}}\cdot e^2\\ x& =\frac{2e^{\frac{-1}{2}}+2e^{-\frac{1}{2}}\cdot e^2}{\frac{1}{2}{e}^{-\frac{1}{2}}\cdot e^2}\\ x& \approx 4.54\end{array}$$

Der x-Wert dieses Schnittpunkts ist:

$$x\approx 4.54$$

Dies ist der Punkt, an dem die Tangente $w$ die x-Achse schneidet.

1. Berechnung der Länge von $\overline{QR}$:

Die Länge von $\overline{QR}$ ist gegeben durch den Funktionswert von $f$ an der Stelle $c$, also $f(c)$. Da die untere Koordinate von $Q$ bei der x-Achse liegt, ist $Q(c,0)$. Daher ist die Höhe $\overline{QR}=f(c)$.

2. Gleichsetzen von $f(c)$ mit 1:

Die Aufgabe verlangt, dass $f(c)=1$. Da wir die Funktion $f(x)=2e^{-\frac{1}{8}{x}^2}$ haben, setzen wir sie gleich 1 und lösen nach $c$ auf.

Fangen wir nun mit der tatsächlichen Rechnung an:

1. Berechnung der Länge von $\overline{QR}$:

$$f(c)=2e^{-\frac{1}{8}{c}^2}$$

2. Gleichsetzen von $f(c)$ mit 1:

$$2e^{-\frac{1}{8}{c}^2}=1$$

Teilen durch 2:

$$e^{-\frac{1}{8}{c}^2}=\frac{1}{2}$$

Um diesen Ausdruck zu lösen, nehmen wir das natürliche Logarithmus auf beiden Seiten:

$$-\frac{1}{8}{c}^2=\ln \left(\frac{1}{2}\right)$$

Das vereinfacht sich zu:

$$-\frac{1}{8}{c}^2=-\ln (2)$$

Umstellen nach $c^2$ ergibt:

$$c^2=8\ln (2)$$

Schließlich nehmen wir die Quadratwurzel von beiden Seiten, um $c$ zu isolieren:

$$c=\sqrt{8\ln (2)}$$

Das ist der Wert von $c$, für den $\overline{QR}=1$ gilt.

Aufgabe 1e)

1. Bestimmen der Seitenlängen des Rechtecks PQRS:

- Die Länge $\overline{PQ}$ ist doppelt so groß wie der Abstand von $P$ oder $Q$ zum Ursprung, also $2c$.

- Die Länge $\overline{QR}$ ist der Funktionswert von $f$ bei $c$, also $f(c)$.

2. Begründen, dass der Flächeninhalt durch den gegebenen Term repräsentiert wird:

Der Flächeninhalt $A$ eines Rechtecks wird durch das Produkt seiner Längen berechnet. Daher ist:

$$A(c)=\overline{PQ}\times \overline{QR}$$

Fangen wir nun mit der tatsächlichen Rechnung an:

1. Bestimmen der Seitenlängen des Rechtecks PQRS:

- $\overline{PQ}=2c$

- $\overline{QR}=f(c)=2e^{-\frac{1}{8}{c}^2}$

2. Begründen, dass der Flächeninhalt durch den gegebenen Term repräsentiert wird:

$$A(c)=\overline{PQ}\times \overline{QR}$$

$$A(c)=2c\times 2e^{-\frac{1}{8}{c}^2}$$

$$A(c)=4c\cdot e^{-\frac{1}{8}{c}^2}$$

Dies bestätigt, dass der Flächeninhalt des Rechtecks durch den gegebenen Term $A(c)=4c\cdot e^{-\frac{1}{8}{c}^2}$ repräsentiert wird. Das Produkt aus der Breite $2c$ und der Höhe $2e^{-\frac{1}{8}{c}^2}$ des Rechtecks ergibt den Flächeninhalt des Rechtecks.

Um einen Maximalwert (oder Minimalwert) einer Funktion zu finden, nutzt man die Ableitung. Ein Maximum liegt an einer Stelle, an der die erste Ableitung $A^{\prime }(c)$ gleich Null ist und die zweite Ableitung $A^{″}(c)$ negativ ist.

1. Ableitung von $A(c)$ bestimmen:

Die Ableitung der Funktion $A(c)=4c\cdot e^{-\frac{1}{8}{c}^2}$ muss gebildet werden.

2. Setzen der Ableitung gleich Null:

Die Stellen, an denen die erste Ableitung Null ist, sind potentielle Extremstellen (Maxima oder Minima).

3. Prüfen, ob es sich um ein Maximum handelt:

Das kann durch die Überprüfung des Vorzeichens der zweiten Ableitung oder durch die Anwendung des Vorzeichenwechsels der ersten Ableitung gemacht werden.

Fangen wir nun mit der tatsächlichen Rechnung an:

1. Ableitung von $A(c)$ bestimmen:

Produktregel: $(u\cdot v{)}^{\prime }=u^{\prime }\cdot v+u\cdot v^{\prime }$

Für unsere Funktion ist $u=4c$ und $v=e^{-\frac{1}{8}{c}^2}$.

Ableitung von $u$:

$$u^{\prime }=4$$

Ableitung von $v$:

$$v^{\prime }=e^{-\frac{1}{8}{c}^2}\cdot (-\frac{1}{4}c)=-\frac{1}{4}c\cdot e^{-\frac{1}{8}{c}^2}$$

Anwenden der Produktregel:

$$A^{\prime }(c)=4\cdot e^{-\frac{1}{8}{c}^2}+4c\cdot (-\frac{1}{4}c\cdot e^{-\frac{1}{8}{c}^2})$$

$$A^{\prime }(c)=4\cdot e^{-\frac{1}{8}{c}^2}-c^2\cdot e^{-\frac{1}{8}{c}^2}$$

2. Setzen der Ableitung gleich Null:

$$4\cdot e^{-\frac{1}{8}{c}^2}-c^2\cdot e^{-\frac{1}{8}{c}^2}=0$$

Ausklammern von $e^{-\frac{1}{8}{c}^2}$:

$$e^{-\frac{1}{8}{c}^2}(4-c^2)=0$$

Da $e^{-\frac{1}{8}{c}^2}$ niemals Null ist, muss gelten:

$$4-c^2=0$$

$$c^2=4$$

$$c=2$$ oder $c=-2$ (Aber $c$ muss in ${\mathbb{R}}^{+}$ liegen, also ist $c=2$ der relevante Wert).

3. Prüfen, ob es sich um ein Maximum handelt:

Dazu kann die zweite Ableitung oder ein Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung herangezogen werden. Der einfache Ansatz ist es, die Vorzeichen von $A^{\prime }(c)$ kurz vor und nach 2 zu überprüfen. Wenn ein Wechsel von positiv zu negativ vorliegt, dann liegt ein Maximum bei $c=2$ vor.

Das Ergebnis ist, dass der Flächeninhalt $A(c)$ des Rechtecks PQRS bei $c=2$ maximal ist.

1. Umkehrbarkeit einer Funktion:

Eine Funktion ist genau dann umkehrbar, wenn sie streng monoton ist, das heißt, entweder streng steigend oder streng fallend im gesamten Definitionsbereich. Dies kann über die erste Ableitung festgestellt werden: Wenn die erste Ableitung überall positiv (oder negativ) und nicht null ist, dann ist die Funktion streng monoton.

2. Berechnung der ersten Ableitung von $f_k(x)$:

Da $f_k(x)=f(x)+k$, ist die Ableitung von $f_k$ die gleiche wie die von $f$, weil die Ableitung einer Konstanten (in diesem Fall $k$) null ist.

3. Bestimmen der Umkehrfunktion:

Die Umkehrfunktion wird durch das Spiegeln der Funktion am Winkelhalbierenden der ersten und dritten Quadranten (die Gerade $y=x$) bestimmt. Eine Skizze würde den gespiegelten Graphen von $f_0(x)=f(x)$ zeigen.

Fangen wir nun mit der tatsächlichen Rechnung und Begründung an:

1. Umkehrbarkeit einer Funktion:

Aus der Kontrollinformation im vorigen Teil wissen wir, dass:

$$f^{\prime }(x)=-\frac{1}{2}\cdot e^{\frac{-1}{8}{x}^2}\cdot e^{-x}$$

Diese Ableitung ist für alle $x$ in $]-\mathrm{\infty };0]$ negativ und nicht null. Daher ist die Funktion $f(x)$ streng fallend und somit umkehrbar.

2. Berechnung der ersten Ableitung von $f_k(x)$:

Da die Ableitung von $k$ null ist, ist:

$$f_k^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)$$

Da $f^{\prime }(x)$ immer negativ und nicht null ist, ist dies auch für $f_k^{\prime }(x)$ der Fall. Dies bedeutet, dass $f_k(x)$ für jeden Wert von $k$ streng fallend und somit umkehrbar ist.

3. Bestimmen der Umkehrfunktion:

Um die Umkehrfunktion von $f_0$ in Abbildung 1 zu skizzieren, würde man den Graphen von $f_0(x)=f(x)$ am Winkelhalbierenden der ersten und dritten Quadranten spiegeln. Dies bedeutet, dass jeder Punkt $(x,y)$ auf $f_0$ zu einem Punkt $(y,x)$ auf der Umkehrfunktion wird.

Um diese Frage zu beantworten, müssen wir uns klarmachen, was es bedeutet, dass der Graph von $f_k$ und der Graph der Umkehrfunktion von $f_k$ keinen gemeinsamen Punkt haben.

Ein gemeinsamer Punkt der Funktion und ihrer Umkehrfunktion wäre ein Punkt $(a,b)$, für den gilt:

1) $f_k(a)=b$

2) Die Umkehrfunktion $f_k^{-1}(b)=a$

Für einen gemeinsamen Punkt würde also gelten:

$$a=f_k(b)$$

$$b=f_k(a)$$

Einsetzen der ersten Gleichung in die zweite:

$$b=f_k(f_k(b))$$

Die obige Gleichung würde den gemeinsamen Punkt bestimmen. Wenn es für ein gegebenes $k$ keinen Wert von $b$ gibt, der diese Gleichung erfüllt, dann haben $f_k$ und seine Umkehrfunktion keinen gemeinsamen Punkt.

Rechnung:

Die Funktion ist $f_k(x)=f(x)+k$.

Für einen gemeinsamen Punkt:

$$b=f(f(b)+k)+k$$

Da es schwierig ist, diese Gleichung explizit zu lösen (besonders ohne eine explizite Form von $f(x)$), könnten wir argumentieren, wie folgt:

1. Der Graph von $f_k$ verschiebt sich vertikal um $k$ Einheiten im Vergleich zu $f$.

2. Für $k=0$, das ist $f_0$, schneiden die Graphen der Funktion und ihrer Umkehrfunktion die Linie $y=x$, da dies die Orte sind, an denen die Funktion und ihre Umkehrfunktion denselben Wert haben.

3. Wenn $k$ positiv ist, wird der Graph von $f_k$ nach oben verschoben, und da $f$ auf dem gegebenen Definitionsbereich streng fallend ist, wird der gesamte Graph von $f_k$ oberhalb des Graphen von $f_0$ liegen. Das bedeutet, dass der Graph von $f_k$ und seiner Umkehrfunktion gemeinsame Punkte auf der Linie $y=x$ haben werden.

4. Für negative Werte von $k$ wird der Graph von $f_k$ nach unten verschoben, wodurch der gesamte Graph unterhalb des Graphen von $f_0$ liegt. Das bedeutet, dass auch in diesem Fall die Graphen von $f_k$ und seiner Umkehrfunktion gemeinsame Punkte auf der Linie $y=x$ haben werden.

Schlussfolgerung:

Für alle Werte von $k$ haben der Graph von $f_k$ und der Graph der Umkehrfunktion von $f_k$ gemeinsame Punkte auf der Linie $y=x$. Daher gibt es keinen Wert von $k$, für den die beiden Graphen keinen gemeinsamen Punkt haben.

Zur Bestimmung der Breite und Höhe der Vorderseite der Dachgaube schauen wir uns den Graphen $G_f$ von $f$ und die gegebenen Geraden an.

Breite bestimmen:

Die Breite der Vorderseite der Dachgaube entspricht der Entfernung zwischen den beiden Geraden $x=-4$ und $x=4$. Das ist ein einfacher Abstand von 8 Einheiten, was in der Realität 8 Metern entspricht.

Höhe bestimmen:

Die Höhe der Vorderseite der Dachgaube entspricht dem maximalen Funktionswert von $f$ im angegebenen Intervall $[-4,4]$, da der Graph die x-Achse als waagrechte Asymptote besitzt und $f(x)$ positiv ist.

Setzen wir $x=0$ in $f(x)$ ein, da der Graph im Intervall symmetrisch zur y-Achse ist und der höchste Punkt bei $x=0$ liegt:

$$f(0)=2e^{-\frac{1}{8}\cdot 0^2}$$

$$f(0)=2e^0$$

$$f(0)=2\times 1=2$$

Dies bedeutet, dass die Höhe der Dachgaube 2 Einheiten (also 2 Meter in der Realität) beträgt.

Antwort a)

Die Breite der Vorderseite der Dachgaube beträgt 8 Meter und die Höhe beträgt 2 Meter.

Betrachten Sie die gegebene Funktion $g(x)=a{x}^4+b$. Es wird gesagt, dass sie ein Fenster in der Dachgaube repräsentiert und dieses Flächenstück vom Graphen von $g$ und der x-Achse eingeschlossen wird.

Um zu bestimmen, ob $a$ negativ und $b$ positiv ist, schauen wir uns den Verlauf und die Eigenschaften der Funktion an.

• Wenn $a$ negativ ist, öffnet die Funktion $g$ nach unten, da der höchste Grad der Funktion (Grad 4) eine gerade Zahl ist. Ein negativer Koeffizient bei einem geraden Grad führt dazu, dass der Graph in beiden Richtungen (links und rechts) nach unten geht.
• $b$ repräsentiert den y-Achsenabschnitt. Da das Fenster oberhalb der x-Achse liegt (laut Abbildung 3), muss $b$ positiv sein.

Begründung:

• Damit die Funktion $g(x)$ oberhalb der x-Achse und nach unten geöffnet ist, muss der Koeffizient des höchsten Grades (hier $a{x}^4$) negativ sein. Daher muss $a$ negativ sein.
• Der Schnittpunkt mit der y-Achse (der Wert von $g(x)$ bei $x=0$) ist $b$. Dieser Wert muss oberhalb der x-Achse liegen, daher muss $b$ positiv sein.

Antwort b)

Der Wert von $a$ ist negativ, damit die Funktion $g(x)$ nach unten geöffnet ist. Der Wert von $b$ ist positiv, da der Graph der Funktion oberhalb der x-Achse liegt.

Um zu bestimmen, welcher der Graphen I, II oder III der Graph von $F$ ist (die Stammfunktion von $f$), schauen wir uns die Eigenschaften von $f$ und seiner Stammfunktion an.

Grundlegende Eigenschaften:

• Eine Stammfunktion $F$ ist im Wesentlichen die Fläche unter dem Graphen von $f$ im Verhältnis zur x-Achse.
• Der Wert der Stammfunktion $F(x)$ an einem Punkt $x$ repräsentiert die Fläche unter dem Graphen von $f$ von einem festen Startpunkt bis zu diesem Punkt $x$.

Mit diesen Informationen betrachten wir die möglichen Graphen:

Graph II: Dieser Graph hat waagrechte Asymptoten bei $y=-2$ und $y=2$. Das bedeutet, dass die Fläche unter $f$ in beiden Richtungen (positiv und negativ) beschränkt ist und einen maximalen bzw. minimalen Wert erreicht. Dies widerspricht jedoch der Tatsache, dass der Graph von $f$ eine waagrechte Asymptote bei der x-Achse hat und somit die Fläche unter $f$ ständig wächst, ohne einen maximalen oder minimalen Wert zu erreichen. Daher kann Graph II nicht der Graph von $F$ sein.

Graph III: Dieser Graph ist ein punktsymmetrisches Polynom dritten Grades mit Extrempunkten bei ungefähr $4/4$ und $-4/-4$. Da $f$ keine Symmetrie zur y-Achse hat, kann seine Stammfunktion nicht punktsymmetrisch sein. Weiterhin sollte eine Stammfunktion von $f$ keinen Extrempunkt haben, der eine waagrechte Tangente zeigt, da $f$ keine Nullstellen hat. Daher kann auch Graph III nicht der Graph von $F$ sein.

Somit muss Graph I der Graph von $F$ sein.

Antwort c)

Graph I ist der Graph von $F$, da Graph II wegen seiner waagrechten Asymptoten nicht in Frage kommt und Graph III wegen seiner Punktsymmetrie und der Art seiner Extrempunkte nicht der Graph von $F$ sein kann.

Mit den neuen Informationen über die Werte von $F$ können wir den Lösungsweg aktualisieren.

1. Flächeninhalt der gesamten Vorderseite der Dachgaube bestimmen:

Wir verwenden die Werte von $F$ bei $x=4$ und $x=-4$, die uns gegeben wurden:

$$A_{gesamt}=F(4)-F(-4)$$

$$A_{gesamt}=4.8-(-4.8)=9.6m^2$$

Also hat die gesamte Vorderseite der Dachgaube einen Flächeninhalt von 9.6 Quadratmetern.

2. Lösungsweg zur Bestimmung von $a$ beschreiben:

Gegeben:

- Fensterhöhe = $1,50m$

- Flächeninhalt des schraffierten Bereichs = $6m^2$

Um den Flächeninhalt des Fensters zu finden, subtrahieren wir den Flächeninhalt des schraffierten Bereichs von der Gesamtfläche:

$$A_{fenster}=A_{gesamt}-6m^2$$

$$A_{fenster}=9.6m^2-6m^2=3.6m^2$$

Da der Graph von $g$ bezüglich der y-Achse symmetrisch ist, können wir den Flächeninhalt zwischen 0 und 4 bestimmen und ihn dann verdoppeln, um den gesamten Flächeninhalt des Fensters zu erhalten:

$$2{\int }_0^{4}g(x)dx=3.6m^2$$

Da $g(0)=b=1,50m$ und $g(x)=a{x}^4+1.5$, können wir $g$ integrieren und dann die Gleichung für $a$ lösen.

Mit dem Integral

$$\int g(x)dx=\frac{a}{5}{x}^5+1.5x$$

können wir das Integral über das Intervall [0,4] aufstellen und dann mit 3.6 Quadratmetern gleichsetzen, um $a$ zu bestimmen.

Antwort d)

Der Flächeninhalt der gesamten Vorderseite der Dachgaube beträgt 9.6 Quadratmeter. Um $a$ zu bestimmen, würden wir den Flächeninhalt des Fensters als Differenz zwischen der Gesamtfläche und dem schraffierten Bereich verwenden und dann das Integral von $g(x)$ über das Intervall [0,4] aufstellen. Das Lösen dieses Integrals würde den Wert von $a$ ergeben, der erforderlich ist, um sicherzustellen, dass der schraffierte Bereich genau $6m^2$ beträgt.

1. Mittelpunktswinkel berechnen:

Um den Mittelpunktswinkel des Kreissektors zu bestimmen, können wir den Sinus des Winkels verwenden. Dabei stellt der Radius den Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks dar und die Höhe des Bogens (der Unterschied zwischen dem höchsten Punkt des Bogens und dem Mittelpunkt des Kreises) die Gegenkathete.

Der Kreis hat den Mittelpunkt $M(0|-1)$ und einen Radius von 3. Der höchste Punkt des Bogens, der auf dem Kreis liegt, ist der Punkt, an dem der Kreis die x-Achse schneidet. Da der Radius 3 ist und der Mittelpunkt $y$-Wert -1 hat, ist die y-Koordinate dieses Punktes $-1+3=2$. Daher ist die Höhe des Bogens 2 - (-1) = 3.

Mit dem Sinus:

$$\sin (\alpha )=\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$$

$$\sin (\alpha )=\frac{3}{3}=1$$

Da $\sin ({90}^{\circ })=1$, ist $\alpha ={90}^{\circ }$.

2. Gesuchten Näherungswert berechnen:

Der Umfang eines Kreises mit Radius r ist gegeben durch $U=2\pi r$. Der Bogen eines Kreissektors mit Mittelpunktswinkel $\alpha$ und Radius r ist:

$$Bogen=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\times 2\pi r$$

Für unseren Bogen:

$$Boge{n}_{0\le x\le 2}=\frac{{90}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\times 2\pi \times 3=\frac{1}{4}\times 6\pi =\frac{3}{2}\pi$$

Da $G_f$ durch vier solcher Bögen angenähert wird, ist die gesamte Länge:

$$L_{gesamt}=4\times \frac{3}{2}\pi =6\pi$$

Das ist der Näherungswert für die Länge der oberen Profillinie der Vorderseite der Dachgaube.

Antwort e)

Der Mittelpunktswinkel des zu diesem Kreisbogen gehörenden Kreissektors beträgt ${90}^{\circ }$. Der gesuchte Näherungswert für die Länge der oberen Profillinie der Vorderseite der Dachgaube ist $6\pi$ oder ungefähr 18.85 Meter.

Ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term ${\left(\frac{3}{4}\right)}^5$ berechnet werden kann:

Ereignis: Bei fünf Würfen des Tetraeders erscheint die Zahl 1 nie.

Begründung:

1. Die Wahrscheinlichkeit, dass beim Werfen des Tetraeders eine bestimmte Zahl, z.B. die 1, nicht erscheint, beträgt $\frac{3}{4}$, da 3 der 4 Seiten nicht die Zahl 1 sind.

2. Da der Würfel fünfmal geworfen wird und die Würfe unabhängig voneinander sind, multiplizieren wir die Wahrscheinlichkeiten: $\left(\frac{3}{4}\right)\times \left(\frac{3}{4}\right)\times \left(\frac{3}{4}\right)\times \left(\frac{3}{4}\right)\times \left(\frac{3}{4}\right)={\left(\frac{3}{4}\right)}^5$.

Antwort a)

Das Ereignis, bei dem die Zahl 1 in fünf Würfen nie erscheint, hat eine Wahrscheinlichkeit von ${\left(\frac{3}{4}\right)}^5$.

Um die Wahrscheinlichkeit dafür zu berechnen, dass jede Zahl mindestens einmal erzielt wird, können wir folgenden Ansatz nutzen:

1. Für den ersten Wurf gibt es keine Einschränkung, da jede Zahl erstmals geworfen werden kann. Die Wahrscheinlichkeit ist $1$.

2. Beim zweiten Wurf müssen wir eine andere Zahl als im ersten Wurf haben. Die Wahrscheinlichkeit beträgt $\frac{3}{4}$.

3. Für den dritten Wurf müssen wir eine der zwei Zahlen haben, die in den ersten beiden Würfen noch nicht erschienen sind. Die Wahrscheinlichkeit beträgt $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.

4. Für den vierten Wurf muss die verbleibende Zahl geworfen werden. Die Wahrscheinlichkeit beträgt $\frac{1}{4}$.

Jetzt ist jede Zahl mindestens einmal geworfen worden. Für den fünften Wurf gibt es keine Einschränkung mehr, da jede der vier Zahlen erscheinen kann. Die Wahrscheinlichkeit beträgt $1$.

Die gesamte Wahrscheinlichkeit ergibt sich somit zu:

$$P=1\times \frac{3}{4}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{4}\times 1=\frac{3}{32}$$

Antwort b)

Ein Term, mit dem die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet werden kann, dass jede Zahl mindestens einmal erzielt wird, ist $\frac{3}{32}$.

Zuerst bestimmen wir die Wahrscheinlichkeiten, dass ein zufällig ausgewähltes Fahrzeug zu den jeweiligen Kategorien gehört:

• Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Fahrzeug einen Dieselmotor hat: $P(Diesel)=4\mathrm{\%}=0,04$
• Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Fahrzeug rein elektrisch ist: $P(Elektro)=65\mathrm{\%}=0,65$

Ereignis D: "Unter den ausgewählten Pkw befinden sich sieben oder acht Verbrenner mit Dieselmotor."

Da wir hier das Urnenmodell "Ziehen mit Zurücklegen" verwenden, handelt es sich um binomial verteilte Ereignisse. Die Wahrscheinlichkeit für genau k Erfolge in n Versuchen mit einer Erfolgswahrscheinlichkeit von p ist:

$$P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\cdot p^k\cdot (1-p{)}^{n-k}$$

In unserem Fall ist:

n = 200 (200 Fahrzeuge werden ausgewählt),

p = 0,04 (Wahrscheinlichkeit, dass ein Fahrzeug ein Diesel ist).

Für k = 7:

$$P(X=7)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{200}{7})\cdot 0,{04}^7\cdot (1-0,04{)}^{200-7}$$

Für k = 8:

$$P(X=8)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{200}{8})\cdot 0,{04}^8\cdot (1-0,04{)}^{200-8}$$

Die Gesamtwahrscheinlichkeit für Ereignis D ist dann:

$$P(D)=P(X=7)+P(X=8)=0.1417+0.1425=0.2842$$

Ereignis E: "Unter den ausgewählten Pkw befinden sich mehr als 135 mit reinem elektrischen Antrieb."

Für die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 135 Fahrzeuge einen reinen elektrischen Antrieb haben, müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für jede Anzahl von 136 bis 200 addieren. Das ist eine umfangreichere Berechnung. Es ist oft einfacher und schneller, die Gegenwahrscheinlichkeit zu berechnen und davon zu subtrahieren:

$$P(E)=1-\sum _{k=0}^{135}P(X=k)$$

Hierbei ist:

n = 200,

p = 0,65 (Wahrscheinlichkeit, dass ein Fahrzeug rein elektrisch ist).

Und:

$$P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{200}{k})\cdot 0,{65}^k\cdot (1-0,65{)}^{200-k}$$

Zusammengefasst:

$$P(E)=1-\sum _{k=0}^{135}(\genfrac{}{}{0ex}{}{200}{k})\cdot 0,{65}^k\cdot (1-0,65{)}^{200-k}=1-0.7918=0.2082$$

$$\sum _{k=0}^{25}(\genfrac{}{}{0ex}{}{200}{k})(0.1{)}^k(1-0.1{)}^{200-k}$$

repräsentiert die kumulative Wahrscheinlichkeit, dass bei 200 unabhängigen Versuchen, von denen jeder eine Erfolgswahrscheinlichkeit von 0,1 (10%) hat, 0 bis 25 Erfolge erzielt werden.

Im Kontext der gegebenen Aufgabe über Pkw-Neuzulassungen in Norwegen können wir ein passendes Ereignis definieren, das mit dem gegebenen Term in Verbindung steht:

Ereignis F: "Unter den 200 zufällig ausgewählten Neuzulassungen befinden sich 25 oder weniger Fahrzeuge einer bestimmten Antriebsart, die nur 10% des Gesamtbestands ausmachen."

Ein konkretes Beispiel im Sachzusammenhang wäre:

Angenommen, es gäbe eine seltene spezielle Art von Hybridfahrzeug, das in Norwegen nur 10% der Neuzulassungen ausmacht. Das Ereignis F würde dann die Wahrscheinlichkeit beschreiben, dass unter 200 zufällig ausgewählten Fahrzeugen 25 oder weniger dieser speziellen Hybridfahrzeuge sind.

Zunächst einmal müssen wir die Wahrscheinlichkeit, $p$, bestimmen, dass ein zufällig ausgewähltes Fahrzeug einen Elektromotor hat (entweder rein elektrisch oder Plug-in-Hybrid):

$$p=P(Elektro)+P(Plug-in-Hybrid)=65\mathrm{\%}+25\mathrm{\%}=90\mathrm{\%}=0,9$$

Für eine Binomialverteilung mit $n$ Versuchen und einer Erfolgswahrscheinlichkeit von $p$ sind der Erwartungswert $\mu$ und die Varianz ${\sigma }^2$ gegeben durch:

Erwartungswert:

$$\mu =n\times p$$

Varianz:

$${\sigma }^2=n\times p\times (1-p)$$

Daraus ergibt sich die Standardabweichung $\sigma$ als:

$$\sigma =\sqrt{n\times p\times (1-p)}$$

Für unsere Aufgabe mit $n=200$ Fahrzeugen und $p=0,9$:

Erwartungswert:

$$\mu =200\times 0,9=180$$

Das bedeutet, wir erwarten, dass 180 der 200 zufällig ausgewählten Fahrzeuge einen Elektromotor haben.

Varianz:

$${\sigma }^2=200\times 0,9\times 0,1=18$$

Standardabweichung:

$$\sigma =\sqrt{18}\approx 4,24$$

Antwort c):

Der Erwartungswert der Anzahl von Pkw mit Elektromotor unter den 200 ausgewählten Fahrzeugen ist 180. Die Standardabweichung beträgt etwa 4,24.

Um zu beweisen, dass die binomialverteilte Zufallsgröße $Z_p$ mit den Parametern $n$ und $p$ die größte Varianz hat, wenn $p=0,5$, beginnen wir damit, den Ausdruck für die Varianz der Binomialverteilung anzugeben:

$${\sigma }^2(p)=n\cdot p\cdot (1-p)$$

Um zu zeigen, dass dieser Ausdruck ein Maximum bei $p=0,5$ hat, nehmen wir die erste Ableitung der Varianz in Bezug auf $p$ und setzen sie gleich null.

$$\frac{d{\sigma }^2}{dp}=n(1-2p)$$

Nun setzen wir die Ableitung gleich null, um die Extremwerte für $p$ zu bestimmen:

$$n(1-2p)=0$$

$$1-2p=0$$

$$1=2p$$

$$p=0,5$$

Dies zeigt, dass $p=0,5$ ein Extrempunkt der Funktion ist. Um zu bestätigen, dass es sich um ein Maximum handelt, betrachten wir die zweite Ableitung der Varianz in Bezug auf $p$:

$$\frac{d^2{\sigma }^2}{d{p}^2}=-2n$$

Da $n>0$ und die zweite Ableitung negativ ist, handelt es sich bei $p=0,5$ um ein Maximum für die Varianz.

Antwort d)

Unter allen binomialverteilten Zufallsgrößen $Z_p$ mit den Parametern $n$ und $p$ hat diejenige mit $p=0,5$ die größte Varianz.

Zunächst müssen wir die Wahrscheinlichkeit, $p$, bestimmen, dass ein zufällig ausgewählter Pkw mit Elektromotor ein Plug-in-Hybrid ist. In der ursprünglichen Aufgabenstellung wurden 65% der Neuzulassungen als rein elektrisch und 25% als Plug-in-Hybride klassifiziert.

Wenn wir uns also nur auf die Elektroautos beschränken, haben wir insgesamt 90% der Autos (65% rein elektrisch + 25% Plug-in-Hybrid). Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Elektroauto ein Plug-in-Hybrid ist, beträgt dann:

$$p=\frac{25\mathrm{\%}}{90\mathrm{\%}}=\frac{25}{90}\approx 0,2778$$

Wir wollen nun die Wahrscheinlichkeit wissen, dass von 40 zufällig ausgewählten Elektroautos genau 10 Plug-in-Hybride sind. Dies ist eine Binomialverteilung. Die Formel lautet:

$$P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\cdot p^k\cdot (1-p{)}^{n-k}$$

Dabei ist:

- $n$ die Anzahl der Versuche (hier 40),

- $k$ die Anzahl der Erfolge (hier 10),

- $p$ die Wahrscheinlichkeit eines Erfolges (hier ca. 0,2778).

Einsetzen der Werte ergibt:

$$P(X=10)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{40}{10})\cdot 0,{2778}^{10}\cdot (1-0,2778{)}^{30}\approx 0.133$$

Aufgabe 2:

Wir haben gegeben:

• Anzahl der Pkw mit rein elektrischem Antrieb (E-Autos): 320.000
• Anzahl der Plug-in-Hybride: 280.000
• Gesamtanzahl aller Pkw mit Elektromotor (E-Autos und Plug-in-Hybride): 600.000
• Anteil der Pkw mit Elektromotor am Gesamtbestand: $1,2\mathrm{\%}$
• Wahrscheinlichkeit für mindestens ein E-Auto: > $97\mathrm{\%}$

Gesucht:

Anzahl der Pkw, die zufällig ausgewählt werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $97\mathrm{\%}$, mindestens ein E-Auto darunter ist.

Lösungsschritte:

1. Ermitteln des Gesamtbestands aller in Deutschland zugelassenen Pkw:

Gegeben:

$$\frac{600.000}{\text{Gesamtbestand}}=0,012$$

Umstellen nach Gesamtbestand ergibt:

$$\text{Gesamtbestand}=\frac{600.000}{0,012}=50.000.000$$

2. Ermitteln der Wahrscheinlichkeit, kein E-Auto zu ziehen:

Wahrscheinlichkeit, ein E-Auto zu ziehen:

$$P(E)=\frac{320.000}{50.000.000}=0,0064$$

Wahrscheinlichkeit, kein E-Auto zu ziehen:

$$P(\text{kein E})=1-0,0064=0,9936$$

3. Ermitteln der notwendigen Anzahl von Pkw (n):

Wir wollen, dass die Wahrscheinlichkeit, bei n gezogenen Pkw kein E-Auto dabei zu haben, kleiner als $3\mathrm{\%}$ (also $0,03$) ist.

$$P(\text{kein E bei n Pkw})=0,{9936}^n<0,03$$

Um den Wert für n zu bestimmen, kann man entweder iterativ vorgehen oder den natürlichen Logarithmus verwenden:

$$\ln (0,{9936}^n)<\ln (0,03)$$

$$n\times \ln (0,9936)<\ln (0,03)$$

$$n>\frac{\ln (0,03)}{\ln (0,9936)}$$

Mit einem Taschenrechner erhält man für n einen Wert von etwa 547.

Antwort:

Mindestens 547 Pkw müssen zufällig ausgewählt werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $97\mathrm{\%}$ mindestens ein Pkw mit rein elektrischem Antrieb darunter ist.

Gegeben:

• Die Zahl der Beschäftigten am Standort A ist viermal so groß wie am Standort B.
• $60\mathrm{\%}$ aller Beschäftigten haben sich für ein Jobticket entschieden.

Gesucht:

Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Beschäftigter am Standort B arbeitet und kein Jobticket besitzt.

Lösungsschritte:

1. Definieren der Anzahl der Beschäftigten:

Da wir keine konkreten Zahlen haben, definieren wir die Anzahl der Beschäftigten an Standort B als $x$. Daraus folgt, dass die Anzahl der Beschäftigten an Standort A $4x$ ist.

2. Gesamtzahl der Beschäftigten:

Die Gesamtzahl der Beschäftigten ergibt sich als $x+4x=5x$.

3. Wahrscheinlichkeiten für Standorte:

Wahrscheinlichkeit, dass ein Mitarbeiter von Standort A ausgewählt wird:

$$P(A)=\frac{4x}{5x}=0,8$$

Wahrscheinlichkeit, dass ein Mitarbeiter von Standort B ausgewählt wird:

$$P(B)=\frac{x}{5x}=0,2$$

4. Wahrscheinlichkeit für Besitz eines Jobtickets:

Da $60\mathrm{\%}$ aller Beschäftigten ein Jobticket besitzen, besitzen $40\mathrm{\%}$ kein Jobticket.

$$P(\text{Kein Jobticket})=0,4$$

5. Gesuchte Wahrscheinlichkeit:

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Mitarbeiter von Standort B ist und kein Jobticket besitzt, ist das Produkt der beiden einzelnen Wahrscheinlichkeiten:

$$P(B\cap \text{Kein Jobticket})=P(B)\times P(\text{Kein Jobticket})=0,2\times 0,4=0,08$$

Antwort a):