Mathe Abitur Niedersachsen

Die gegebene Funktion ist $f(x)=a\cdot b^x$. Die Werte von $a$ und $b$ sollen bestimmt werden.

1. Ermitteln der Werte anhand des gegebenen Graphen:

- Bei $x=0$, $f(0)=a$. Der Graph zeigt, dass $f(0)=1$.

- Bei $x=1$, $f(1)=a\cdot b$. Der Graph zeigt, dass $f(1)=2$.

2. Einsetzen der bekannten Werte:

Bei $x=0$: $f(0)=a=1$

Also $a=1$.

Bei $x=1$: $f(1)=1\cdot b=2$

Also $b=2$.

Antwort a):

Die Werte für $a$ und $b$ sind:

$$a=1$$

$$b=2$$

Die Funktion $g(x)=3^x$ wird um 2 in negative x-Richtung verschoben. Die resultierende Funktion ist $g(x+2)$.

1. Zeichne den Graphen von $g(x+2)$. Dies würde den Graphen von $g(x)$ um 2 Einheiten nach links verschieben.

2. Zeigen, dass der neue Graph auch durch eine Streckung des Graphen von $g$ in y-Richtung erzeugt werden kann:

• Die Streckung in y-Richtung wird durch Multiplizieren der Funktion mit einem Faktor dargestellt.
• Die neue Funktion ist: $y=c\cdot 3^{x+2}$.
• Vergleichen Sie die Werte von $g(x+2)$ und $c\cdot 3^{x+2}$, um $c$ zu bestimmen.

Einsetzen von $x=0$ in beide Funktionen:

$g(0+2)=3^2=9$

$c\cdot 3^{0+2}=c\cdot 9$

Da die Graphen identisch sind, muss $c\cdot 9=9$ sein.

Also ist $c=1$.

Antwort b):

Der Graph von $g(x)=3^x$, um 2 Einheiten in negative x-Richtung verschoben, ist identisch mit dem Graphen von $g(x)$ selbst, da eine Verschiebung in x-Richtung keine Änderung in y-Richtung verursacht. Das bedeutet, dass keine Streckung in y-Richtung nötig ist, um den neuen Graphen zu erzeugen.

Eine ganzrationale Funktion $f$ hat die Nullstellen 1, 2 und –3.

1. Die Nullstellenform einer Funktion lautet:

$$f(x)=a\cdot (x-x_1)\cdot (x-x_2)\cdot (x-x_3)$$

wobei $x_1,x_2,x_3$ die Nullstellen sind.

2. Einsetzen der gegebenen Nullstellen:

$$f(x)=a\cdot (x-1)\cdot (x-2)\cdot (x+3)$$

Da keine weiteren Informationen über den Streckfaktor $a$ gegeben sind, kann $a$ als beliebige Konstante betrachtet werden.

Antwort a):

Eine mögliche Funktionsgleichung für $f$ ist:

$$f(x)=a\cdot (x-1)\cdot (x-2)\cdot (x+3)$$

Für eine Funktion $h$ gilt: $h^{\prime }(x)=x^2-2x-24$

Bestimmen Sie die Extremstellen des Graphen von $h$.

1. Die Extremstellen (Hoch- oder Tiefpunkte) treten auf, wenn die erste Ableitung $h^{\prime }(x)$ den Wert 0 hat. Daher setzen wir $h^{\prime }(x)=0$.

$$x^2-2x-24=0$$

2. Lösung der quadratischen Gleichung mithilfe der Mitternachtsformel (quadratische Lösungsformel):

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

wobei $a=1,b=-2$ und $c=-24$ sind.

Einsetzen ergibt:

$$x_{1,2}=\frac{2\pm \sqrt{4+96}}{2}$$

$$x_{1,2}=\frac{2\pm 10}{2}$$

Daraus folgt:

$$x_1=6$$

$$x_2=-4$$

Antwort b):

Die Extremstellen des Graphen von $h$ sind bei $x=6$ und $x=-4$. Ob es sich um Hoch- oder Tiefpunkte handelt, müsste durch die Untersuchung der zweiten Ableitung oder durch den Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung ermittelt werden.

1. Setzen Sie $f(x)$ und $y=m\cdot x$ gleich:

$$x^2=m\cdot x$$

Dies führt zu:

$$x^2-m\cdot x=0$$

Dies kann als $x(x-m)=0$ geschrieben werden.

Da $x=0$ bereits bekannt ist (Ursprung), ist der andere Schnittpunkt $x_1=m$.

2. Berechnen Sie die Fläche zwischen den beiden Kurven vom Punkt $m$ bis zum Ursprung:

$$A={\int }_m^0(m\cdot x-x^2)dx$$

Integrieren:

$$A={[\frac{m\cdot x^2}{2}-\frac{x^3}{3}]}_m^0$$

3. Setzen Sie die Integrationsgrenzen ein und vereinfachen:

$$A=(\frac{m\cdot 0^2}{2}-\frac{0^3}{3})-(\frac{m\cdot m^2}{2}-\frac{m^3}{3})$$

$$A=-(\frac{m^3}{2}-\frac{m^3}{3})$$

$$A=-\left(\frac{m^3}{6}\right)$$

4. Setzen Sie $A=36$ und lösen Sie die Gleichung:

$$-\frac{m^3}{6}=36$$

$$m^3=-216$$

$$m=-6$$

Antwort:

Die reelle Zahl $m$ mit $m<0$, für die der Graph von $f$ und die Gerade $y=m\cdot x$ eine Fläche von 36 einschließen, ist $m=-6$.

Nehmen wir an, es haben insgesamt 100 Personen an der Umfrage teilgenommen (dies vereinfacht die Berechnung und ändert nichts am prozentualen Ergebnis).

a) Bestimmen Sie das Ergebnis der Befragung:

• Anzahl der Personen älter als 35 Jahre: $0,70\times 100=70$
• Anzahl der Personen höchstens 35 Jahre alt: $100-70=30$
• Anzahl der höchstens 35-Jährigen, die gegen das Projekt stimmten: $0,60\times 30=18$
• Anzahl der über 35-Jährigen, die gegen das Projekt stimmten: $0,20\times 70=14$

Gesamtzahl der Personen, die gegen das Projekt stimmten: $18+14=32$

Prozentsatz gegen das Projekt: $32\mathrm{\%}$

Prozentsatz für das Projekt: $100\mathrm{\%}-32\mathrm{\%}=68\mathrm{\%}$

b) Bestimmen Sie unter den Teilnehmenden, die für das Projekt stimmten, den Anteil der höchstens 35-Jährigen:

Anzahl der höchstens 35-Jährigen, die für das Projekt stimmten: $30-18=12$

Anteil der höchstens 35-Jährigen, die für das Projekt stimmten, im Verhältnis zu allen, die dafür stimmten:

$$\frac{12}{68}=0,1765\approx 17,65\mathrm{\%}$$

Antworten:

a) 32% der Befragten stimmten gegen das Projekt, während 68% dafür stimmten.

b) Unter den Teilnehmenden, die für das Projekt stimmten, waren ca. 17,65% höchstens 35 Jahre alt.

a) Geben Sie die in der Tabelle fehlenden Werte an

Die Gesamtwahrscheinlichkeit aller möglichen Werte von $X$ muss 1 ergeben. Die Wahrscheinlichkeit für $X=5$ ist bereits als 0,2 gegeben. Aus der Grafik können wir entnehmen, dass die Wahrscheinlichkeit für $X=8$ 0,5 beträgt und die Wahrscheinlichkeit für $X=2$ etwa 0,3 ist.

Erwartungswert von $X$:

$$E(X)=\sum _{k}k\times P(X=k)$$

$$E(X)=2\times 0,3+5\times 0,2+8\times 0,5$$

$$E(X)=0,6+1+4=5,6$$

a)

$E(X)=5,6$

b) Wahrscheinlichkeit für das Produkt von zwei Werten, die 10 ergeben:

Um das Produkt von 10 zu erhalten, können die beiden Werte nur $(2,5)$ oder $(5,2)$ sein.

Die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ in einem Versuch den Wert 2 und in einem anderen Versuch den Wert 5 annimmt, beträgt:

$$P(X_1=2\text{ und }{X}_2=5)=P(X=2)\times P(X=5)=0,3\times 0,2=0,06$$

Die Wahrscheinlichkeit für $(5,2)$ ist gleich der für $(2,5)$, da sie unabhängige Ereignisse sind:

$$P(X_1=5\text{ und }{X}_2=2)=0,06$$

Die gesuchte Gesamtwahrscheinlichkeit beträgt:

$$P=0,06+0,06=0,12$$

b)

Die Wahrscheinlichkeit, dass das Produkt der beiden Werte 10 ergibt, beträgt $0,12$.

Zeigen, dass $ABC$ ein gleichschenkliges Dreieck mit Basis $AB$ ist.

Länge der Strecken berechnen:

Die Länge einer Strecke zwischen zwei Punkten $(x_1,y_1)$ und $(x_2,y_2)$ ist durch den Satz des Pythagoras gegeben:

$$d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$$

1. Strecke $AB$:

$$AB=\sqrt{(8-0{)}^2+(6-0{)}^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$$

2. Strecke $AC$:

$$AC=\sqrt{(4-0{)}^2+(3-0{)}^2+z^2}=\sqrt{16+9+z^2}=\sqrt{25+z^2}$$

3. Strecke $BC$:

$$BC=\sqrt{(8-4{)}^2+(6-3{)}^2+z^2}=\sqrt{16+9+z^2}=\sqrt{25+z^2}$$

Da $AC$ und $BC$ die gleiche Länge haben, ist das Dreieck $ABC$ gleichschenklig mit der Basis $AB$.

b)

Ziel: Bestimme $z$ so, dass der Flächeninhalt von $ABC$ gleich 35 ist.

Flächeninhalt von $ABC$ berechnen:

Für ein Dreieck mit der Basis $b$ und der Höhe $h$ gilt:

$$A=\frac{1}{2}b\times h$$

Die Höhe $h$ des Dreiecks vom Punkt $C$ zur Basis $AB$ ist gleich dem z-Wert von Punkt $C$.

Da die Fläche 35 beträgt und die Basis $AB$ eine Länge von 10 hat:

$$35=\frac{1}{2}\times 10\times h⟹h=7$$

Somit ist $z=7$.

Antwort b)

Der Wert von $z$ beträgt 7.

a) Zeigen Sie, dass $g$ und $h$ nicht identisch sind.

Zwei Geraden sind identisch, wenn sie denselben Stützvektor und denselben Richtungsvektor haben oder wenn ein Punkt von einer Geraden auch auf der anderen Geraden liegt.

Hier haben beide Geraden den gleichen Richtungsvektor $\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 2\end{array}\right)$.

Der Stützvektor von $g$ ist $\overrightarrow{OP}$, welcher dem Punkt $P(2|0|1)$ entspricht, und der Stützvektor von $h$ ist $\overrightarrow{OQ}$, welcher dem Punkt $Q(2|4|9)$ entspricht.

Da $P$ und $Q$ verschiedene Punkte sind, haben die beiden Geraden unterschiedliche Stützvektoren.

Antwort a)

Die Geraden $g$ und $h$ sind nicht identisch, da sie unterschiedliche Stützvektoren haben.

Da die Gerade parallel zu $g$ und $h$ sein soll, hat sie denselben Richtungsvektor $\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 2\end{array}\right)$.

Die Strecke $PQ$ lässt sich beschreiben als:

$$\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OP}+r\cdot (\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP})$$

mit $r\in [0,1]$.

Wegen $3\cdot |PT|=|QT|$ und $|PQ|=|PT|+|QT|$ ergibt sich:

$$r=\frac{|PT|}{|PQ|}=\frac{1}{4}$$

Setzen Sie $r=\frac{1}{4}$ in die Gleichung für die Strecke $PQ$ ein, um den Punkt $T$ zu finden.

Die Gleichung der gesuchten Geraden ist:

$$\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OT}+u\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 2\end{array}\right)$$

wobei $\overrightarrow{OT}$ dem gefundenen Punkt $T$ entspricht und $u\in \mathbb{R}$.

Um den Punkt $T$ zu finden, nutzen wir die gegebene Information über das Verhältnis zwischen den Strecken $PT$ und $QT$.

Da die gesamte Strecke $PQ$ in vier gleiche Teile geteilt wird (drei Teile für $PT$ und ein Teil für $QT$), entspricht dies einem Verhältnis von $r=\frac{1}{4}$.

Bestimmung des Punktes $T$ auf der Strecke $PQ$:

- Der Ortsvektor von Punkt $P$ ist $\overrightarrow{OP}=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ und von Punkt $Q$ ist $\overrightarrow{OQ}=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 9\end{array}\right)$.

Die Gerade $PQ$ kann als Verbindung zwischen diesen beiden Punkten beschrieben werden:

$$\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OP}+r\cdot (\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP})$$

Setzen Sie $r=\frac{1}{4}$ in die obige Gleichung ein:

$$\overrightarrow{OT}=\overrightarrow{OP}+\frac{1}{4}\cdot (\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP})$$

$$\overrightarrow{OT}=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 1\end{array}\right)+\frac{1}{4}\cdot (\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 9\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 1\end{array}\right))$$

$$\overrightarrow{OT}=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 1\end{array}\right)+\frac{1}{4}\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 8\end{array}\right)$$

$$\overrightarrow{OT}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 3\end{array}\right)$$

Daher ist der Punkt $T$ gegeben durch die Koordinaten $T(2|1|3)$.