Äquivalenzumformungen spielen eine große Rolle beim Lösen von Gleichungen, da durch sie die Variable isoliert und die Gleichung somit leichter gelöst werden kann. Wie du diese Umformungen anwendest und welche es überhaupt gibt, lernst du in diesem Artikel.
Lerne mit Millionen geteilten Karteikarten
Leg kostenfrei losWie nennt man die Umformung, bei der beide Seiten der Gleichung durch einen Term dividiert werden?
Welche Umformung wird genutzt, um Potenzen in Gleichungen aufzulösen?
Was sind Äquivalenzumformungen?
Welche Umformung wird auf beiden Seiten einer Gleichung subtrahiert?
Welches mathematische Werkzeug hilft, eine Variable aus einem Exponenten zu lösen?
Was ist das Gegenstück zum Logarithmieren?
Welche Umformung wird auf beiden Seiten einer Gleichung addiert?
Wie nennt man die Umformung, bei der beide Seiten der Gleichung mit einem Term multipliziert werden?
Wie kann man die Division auch darstellen?
Was kann ein Term durch ersetzt werden?
Wie nennt man die Umformung, bei der beide Seiten der Gleichung durch einen Term dividiert werden?
Welche Umformung wird genutzt, um Potenzen in Gleichungen aufzulösen?
Was sind Äquivalenzumformungen?
Welche Umformung wird auf beiden Seiten einer Gleichung subtrahiert?
Welches mathematische Werkzeug hilft, eine Variable aus einem Exponenten zu lösen?
Was ist das Gegenstück zum Logarithmieren?
Welche Umformung wird auf beiden Seiten einer Gleichung addiert?
Wie nennt man die Umformung, bei der beide Seiten der Gleichung mit einem Term multipliziert werden?
Wie kann man die Division auch darstellen?
Was kann ein Term durch ersetzt werden?
Schreib bessere Noten mit StudySmarter Premium
Geld-zurück-Garantie, wenn du durch die Prüfung fällst
Review generated flashcards
Erstelle unlimitiert Karteikarten auf StudySmarter
Team Äquivalenzumformungen Lehrer
Bevor du dich damit beschäftigst, welche Äquivalenzumformungen es gibt und wie du diese auf Gleichungen anwendest, schaue dir zunächst an, was Äquivalenzumformungen überhaupt sind und wann man zwei Terme äquivalent nennt. Dieses Verständnis wird dir später bei der Anwendung helfen.
Zwei Terme sind äquivalent, wenn sie für dieselben Einsetzungen aus der Grundmenge denselben Termwert ergeben. Man nennt diese Terme dann auch gleichwertig.
Schauen wir uns dazu ein Beispiel an.
Gegeben sind die Terme
und
mit der Grundmenge Um zu prüfen, ob die beiden Terme gleichwertig sind, setzen wir beispielhaft Werte aus der Grundmenge ein. Da die Grundmenge nur aus vier Elementen besteht, setzen wir alle 4 Werte ein.| x | ||
| 1 | 30 | 30 |
| 2 | 40 | 40 |
| 3 | 50 | 50 |
| 4 | 60 | 60 |
Da beide Terme für alle Einsetzungen der Grundmenge dieselben Werte ausgeben, sind die beiden Terme gleichwertig. Man kann sie also verbunden mit einem Gleichzeichen als Gleichung notieren.
Demnach bedeutetet äquivalent, dass zwei Terme gleichwertig sind. Damit wird auch der Begriff Äquivalenzumformung verständlich, der oft bei Gleichungen fällt.
Äquivalenzumformungen sind Umformungen, welche die Lösungsmenge einer Gleichung unverändert lassen.
Wenn du an einer Gleichung also Äquivalenzumformungen vornimmst, dann bleiben die möglichen Lösungen der Gleichung gleich. Man notiert die Äquivalenzumformung hinter der Gleichung hinter einem senkrechten Strich. Dort schreibt man die Äquivalenzumformung auf, welche auf beide Seiten der Gleichung angewendet wird.
In diesem Beispiel ist die Subtraktion von 20 auf beiden Seiten der Gleichung die Äquivalenzumformung.
Die Lösungsmenge
bleibt unverändert.
Damit du dir Äquivalenzumformungen besser vorstellen kannst, sieh dir folgendes Modell an:
Die Gleichung kann mit dem Waagemodell dargestellt werden als:
Abbildung 1: Waagemodell der ursprünglichen Gleichung
Wir wollen nun die folgende Äquivalenzumformung in diesem Modell darstellen:
Im Waagemodell ziehen wir also die fünf roten Bälle von jeweils der linken und der rechten Seite ab.
Abbildung 2: Waagemodell der umgeformten Gleichung
Was bleibt ist die Lösung der Gleichung, nämlich, dass das x den Wert 2 hat.
Du hast verschiedene Möglichkeiten, eine gegebene Gleichung äquivalent umzuformen. Im Folgenden lernst du diese kennen und erhältst anhand von Beispielen eine Vorstellung davon, wie man sie in spezifischen Situationen zielführend anwendet.
Addition und Subtraktion ähneln sich in der Art und dem Zweck, für den sie eingesetzt werden.
Bei der Addition wird auf beiden Seiten der Gleichung ein Term addiert.
Bei der Subtraktion wird, ähnlich wie bei der Addition, auf beiden Seiten der Gleichung ein Term subtrahiert.
Terme können beispielsweise Zahlterme, Bruchterme, eingliedrige oder mehrgliedrige Terme, mit oder ohne Variable sein. Im Artikel "Terme" kannst du alles zu Termen nachlesen.
Schaue dir die folgenden zwei Beispiele an, um zu verstehen, wie Addition und Subtraktion umgesetzt werden.
Hier wird der Zahlterm 5 addiert.
Bei der Addition sowie Subtraktion werden nicht nur Zahlterme, sondern auch solche mit Variable oder Bruchterme verwendet.
Durch die Subtraktion von wird das auf der linken Seite der Gleichung aufgelöst und du kommst deinem x-Wert ein Stück näher.
Die anschließende Subtraktion von 12 sorgt dafür, dass du die Zahlterme auf der linken Seite der Gleichung hast und auf der rechten solche mit Variable.
Diese beiden Arten der Äquivalenzumformungen verwendest du besonders, um Termglieder mit Variable auf eine Seite des Gleichzeichens zu bekommen und die Termglieder ohne Variable auf die andere. Dadurch ordnest du deine Terme.
Multiplikation und Division werden besonders häufig dazu verwendet, um die Variable zu isolieren, also den Faktor vor dem x zu entfernen.
Möchtest du eine Gleichung mit einer Multiplikation äquivalent umformen, multiplizierst du beide Seiten des Gleichzeichens mit einem Term.
Ähnlich wie bei der Multiplikation gehst du bei der Division vor, mit dem Unterschied, dass du dividierst, statt multiplizierst.
Achte darauf, dass du die Rechenregeln beachtest.
Schaue dir in den folgenden Beispielen an, wie Multiplikation und Division angewendet werden.
Durch die Multiplikation mit dem Term können die Brüche gekürzt werden.
Durch die Division mit 8 erhältst du einen einfacheren Term, welchen du nur noch einmal äquivalent umformen musst, um an dein Ergebnis zu kommen.
Die Division kann auch immer dargestellt werden als Multiplikation mit einem Bruch.
Dabei entspricht
immer
Es wird also mit dem Kehrwert von x multipliziert.
kann geschrieben werden als
Dieses Vorgehen kann besonders hilfreich sein, wenn ein Faktor in Form eines Bruches vor deinem x steht.
Um diese Gleichung zu lösen, würdest du wahrscheinlich zunächst in Erwägung ziehen, durch zu teilen. Viel leichter ist es jedoch, mit dem Kehrwert des Bruches zu multiplizieren:
Du kannst also immer, wenn du eigentlich durch einen Bruch dividieren würdest, stattdessen mit dem Kehrwert des Bruches multiplizieren.
Aufgabe
Löse die Gleichung
mit den bisher aufgeführten Äquivalenzumformungen.
Lösung
Bringe zunächst beide Zahlterme durch Subtraktion auf eine Seite der Gleichung.
Anschließend addierst du, um alle Terme mit Variable auf der anderen Seite der Gleichung zu haben.
Um nun die Variable zu isolieren, multiplizierst du noch mit dem Kehrwert des Bruches.
Die Lösung der Gleichung ist also .
Diese Art der Äquivalenzumformung kennst du sicherlich schon oder wendest sie vielleicht bereits auch automatisch an. Es geht darum, dass du Terme in äquivalente Terme umformst und damit deiner Lösung näher kommst. Das geht immer dann, wenn du die beiden Terme mit einem Gleichzeichen verbinden könntest.
Ein Term kann durch einen äquivalenten Term ersetzt werden.
Solltest du dir nicht mehr sicher seien, wann zwei Terme äquivalent zueinander sind, schau gerne in unserem Artikel dazu vorbei.
Das Ersetzen eines Terms mit einem äquivalenten Term ist besonders sinnvoll, wenn sich dadurch neue Möglichkeiten für weitere Umformungen ergeben oder das Ergebnis sich direkt ablesen lässt.
Ein weiteres Beispiel für diese Art der Umformung kennst du sicherlich schon. Es geht um das Einsetzungsverfahren bei Gleichungssystemen.
Gegeben sei das Gleichungssystem
Mit dem Einsetzungsverfahren kannst du nun II. in I. einsetzen und hast somit nur noch eine Variable. Das ist möglich, da dir die Gleichheit der Terme bereits gegeben ist.
Die Variable kann in einer Gleichung nicht nur als Faktor oder Summand vorkommen, sondern auch als Potenz. In diesem Fall hilft dir der Logarithmus, die Variable aus der Potenz zu bekommen, um so das weitere Auflösen zu ermöglichen.
Ziehe den Logarithmus zur Basis deines Exponenten.
In der Praxis sieht das dann so aus:
Ein Sonderfall liegt vor, wenn die Basis von x die eulersche Zahl e ist. In diesem Fall kannst du den natürlichen Logarithmus verwenden. Mehr dazu im Artikel zum Lösen von Exponentialgleichungen.
Wie beim Addieren und Multiplizieren gibt es auch eine Gegenoperation für das Logarithmieren. Das ist etwa sinnvoll, falls du den Logarithmus nicht lösen kannst, da eine Unbekannte in ihm vorkommt.
Beim Exponenzieren wird der Logarithmus rückgängig gemacht.
Zur Anwendung kommt das Exponenzieren für gewöhnlich, wenn innerhalb des Logarithmus die Variable vorkommt.
Gegeben ist die Gleichung
.
Um deinen x-Wert zu ermitteln, formst du folgendermaßen um:
Diese Gleichung kannst du ohne Probleme lösen.
Neben den oben genannten Äquivalenzumformungen gibt es noch weitere Umformungen, welche nicht direkt zu den Äquivalenzumformungen zählen, da möglicherweise die Lösungsmenge verändert werden kann. Dennoch sind sie sehr nützlich, um Gleichungen umzuformen.
Werden der Lösungsmenge beim Umformen weitere Elemente zugefügt oder gehen verloren, spricht man auch von Gewinn- bzw. Verlustumformungen.
Beispiel für eine Gewinnumformung:
Du hast die Gleichung
gegeben und erkennst sofort, dass die Lösung dieser sein muss.
Formst du die Gleichung allerdings durch Potenzieren folgendermaßen um, erhältst du zusätzliche falsche Elemente der Lösungsmenge:
Bei der -6 handelt es sich also um eine Scheinlösung aufgrund falscher Umformung.
Damit du nachvollziehen kannst, weshalb beim Wurzelziehen Lösungen verloren gehen, können schau dir zunächst die Definition dazu an.
Die Wurzel ist definiert als
Hier ist wichtig, dass du bedenkst, dass der Radikand nicht negativ werden kann.
Kommen in deiner Gleichung Potenzen vor, löst man diese am besten durch das Wurzelziehen auf.
Ziehe auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel.
Angewendet sieht das folgendermaßen aus:
In diesem Beispiel lässt sich die Wurzel einfach ziehen, es kann aber auch vorkommen, dass die Wurzel einer Zahl eine Dezimalzahl ist.
Wenn in Gleichungen Wurzeln vorkommen, macht es wiederum Sinn, diese durch Potenzieren aufzulösen.
Potenziere beide Seiten der Gleichung.
Um eine gewöhnliche (also eine zweite) Wurzel aufzulösen, wählst du den Exponent 2. In diesem Fall spricht man auch vom Quadrieren.
Durch die falsche Umformung erhält man die Lösungsmenge . Bei -4 handelt es sich um eine Scheinlösung, da diese eingesetzt in die Ursprungsgleichung einen Widerspruch erzeugt.
Versuche doch gleich einmal, die gelernten Äquivalenzumformungen anzuwenden!
Aufgabe 1
Finde die Lösung der folgenden Gleichung mithilfe von Äquivalenzumformungen.
Lösung
Zunächst multiplizierst du die Gleichung mit 2, um den Bruch aufzulösen.
Um nun die Lösung zu erhalten, bringst du alle Zahlterme auf eine Seite des Gleichzeichens und die Terme mit der Variablen x auf die andere.
Hast du das gemacht, dividierst du noch mit -7, um das x zu isolieren und erhältst die Lösung
Aufgabe 2
Welche Äquivalenzumformung würdest du bei dieser Gleichung als Erstes anwenden?
Lösung
Um die Lösung dieser Gleichung zu ermitteln, ist es am besten zunächst die Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung zu ziehen, um die Potenz der Variable aufzulösen.
Melde dich kostenlos an, um Zugriff auf all unsere Karteikarten zu erhalten.
Welche Äquivalenzumformungen gibt es?
Zu den Äquivalenzumformungen gehören:
Was sind Äquivalenzumformungen und wofür braucht man sie?
Äquivalenzumformungen sind Umformungen, welche die Lösungsmenge der Gleichung unverändert lassen. Man verwendet sie besonders häufig, um die Lösung von Gleichungen zu ermitteln.
Was sind keine Äquivalenzumformungen?
Wird bei einer Umformung die Lösungsmenge einer Gleichung verändert, handelt es sich nicht um eine Äquivalenzumformung.
Was ist äquivalent in der Mathematik?
Äquivalent sind Terme, welche durch Äquivalenzumformungen ineinander überführt werden können.
Bei StudySmarter haben wir eine Lernplattform geschaffen, die Millionen von Studierende unterstützt. Lerne die Menschen kennen, die hart daran arbeiten, Fakten basierten Content zu liefern und sicherzustellen, dass er überprüft wird.
Lily Hulatt ist Digital Content Specialist mit über drei Jahren Erfahrung in Content-Strategie und Curriculum-Design. Sie hat 2022 ihren Doktortitel in Englischer Literatur an der Durham University erhalten, dort auch im Fachbereich Englische Studien unterrichtet und an verschiedenen Veröffentlichungen mitgewirkt. Lily ist Expertin für Englische Literatur, Englische Sprache, Geschichte und Philosophie.
Lerne Lily kennen
Gabriel Freitas ist AI Engineer mit solider Erfahrung in Softwareentwicklung, maschinellen Lernalgorithmen und generativer KI, einschließlich Anwendungen großer Sprachmodelle (LLMs). Er hat Elektrotechnik an der Universität von São Paulo studiert und macht aktuell seinen MSc in Computertechnik an der Universität von Campinas mit Schwerpunkt auf maschinellem Lernen. Gabriel hat einen starken Hintergrund in Software-Engineering und hat an Projekten zu Computer Vision, Embedded AI und LLM-Anwendungen gearbeitet.
Lerne Gabriel kennen