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Gleichungen – Grundlagen
Zunächst einmal sollte Dir klar sein, was eine Gleichung überhaupt ist.
Gleichung – Definition & Aufbau
Eine Gleichung ist per Definition folgendermaßen aufgebaut:
Abbildung 1: Aufbau einer Gleichung
Eine Gleichung besteht immer aus zwei Termen, welche durch ein Gleichzeichen '=' voneinander getrennt werden.
Gleichung einfach erklärt
Aber, ein Schritt zurück: Was soll denn eine Gleichung überhaupt darstellen? Schaue Dir dazu Abbildung 2 an, welche die StudySmarter Waage darstellt.
Abbildung 2: Waage im Gleichgewicht
Genau diese Abbildung beschreibt den Kern hinter Gleichungen. Gleichungen verbinden zwei Objekte miteinander, indem sie Dir mitteilen: Links und rechts steht genau dasselbe.
Bedeutung des Gleichheitszeichen | Linke & Rechte Seite einer Gleichung
Das Gewicht auf der linken Seite soll mit dem Buchstaben L und das auf der rechten Seite mit R bezeichnet werden.
Die Beobachtung, dass sich die Waage im Gleichgewicht befindet, kannst Du mit dem Ausdruck notieren.
Der Ausdruck "" steht also für eine Gleichung, bei welcher linke Seite und R die rechte Seite gleich groß sind.
Doch wie kannst Du nun mit einer solchen Gleichung umgehen?
Gleichungen – Anwendung
Gleichungen können Dir in der Mathematik enorm weiterhelfen. Dazu musst Du lernen, sie aufzustellen und zu lösen.
1. Gleichungen aufstellen
Um das Gleichgewicht zu erhalten, musst Du auf beiden Seiten immer genau dasselbe machen. Das heißt, Du entfernst beispielsweise auf beiden Seite den türkisfarbenen Block. Würde dieser nur auf einer Seite entfernt werden, gäbe es ein Ungleichgewicht.
Abbildung 3: Waage ins Gleichgewicht bringen
Wie Gleichungen korrekt definiert, erkannt, aufgestellt und gelöst werden, wird im Beitrag Gleichungen Grundlagen auf StudySmarter erklärt. Neugierig? Dann sieh Dir diesen unbedingt noch an!
Eine einfache mathematische Gleichung für dieses grafische Beispiel sieht wie folgt aus:
Aufgabe 1
Stelle eine Gleichung für Abbildung 2 auf, wobei die Bausteine folgendes Gewicht aufweisen:
Rot =
Türkis =
Orange =
Entferne anschließend in der Gleichung den türkisfarbenen Baustein, wie Abbildung 2 aufzeigt.
Lösung
Es ergibt sich folgende Gleichung:
Als nächsten Schritt wird das Gewicht anstelle der Begriffe eingesetzt.
Um den türkisfarbenen Baustein zu entfernen, werden auf beiden Seiten die abgezogen, um die Lösung zu erhalten. Es ergibt sich somit folgende Gleichung:
In der Mathematik beinhalten Gleichungen meistens sogenannte Variablen, welche mit x, y, z bezeichnet werden und stellvertretend für einen beliebigen Wert stehen.
Beispielsweise bei unserem einführenden Beispiel, bei welchem Du berechnen möchtest, wie lange Du warten musst, bis Du 18 Jahre alt wirst. Es muss also eine Zahl gefunden werden, welche, wenn man 12 addiert, genau 18 ergibt.
Wie folgende Gleichung gelöst werden kann, erfährst Du im nächsten Abschnitt.
2. Gleichungen lösen
Du kannst Gleichungen auf verschiedene Arten lösen.
Gleichungen rechnerisch Lösen
Möchtest Du eine Gleichung rechnerisch lösen, musst Du sie zunächst mithilfe von Äquivalenzumformungen nach der Variable auflösen und sie dann vereinfachen.
Die Äquivalenzumformung ist dazu da, die Gleichung so umzustellen, dass die Variable sich allein auf einer Seite befindet.
Äquivalenzumformungen sind Umformungen, welche die Lösungsmenge einer Gleichung unverändert lassen.
Du nimmst also auf beiden Seiten der Gleichung die genau gleiche Rechenoperation vor, um verschiedene Terme von einer Seite der Gleichung auf die andere zu schieben.
Möchtest Du mehr zum Thema der Äquivalenzumformung erfahren, dann sieh Dir unbedingt den Beitrag hierzu auf StudySmarter an!
Folgendes Beispiel soll versuchen, die Gleichung aus der Einführung korrekt umzustellen:
Aufgabe 1
Wende die Äquivalenzumformung für folgende Gleichung an:
Lösung
Um diese Gleichung so umzustellen, dass die Variable x allein auf der linken Seite steht, muss die auf die andere Seite geschoben werden. Dazu wird die gegensätzliche Rechenoperation (
) auf beiden Seiten angewendet:
Nun ist die Gleichung mithilfe der Äquivalenzumformung nach x aufgelöst, das heißt das x steht allein auf einer Seite der Gleichung.
Ist das der Fall, so muss die andere Seite der Gleichung mithilfe von Rechnungen nur noch vereinfacht werden.
Mithilfe der Vereinfachung der Gleichung, kannst Du jetzt also bestimmen, wie viele Jahre es noch zu Deinem 18. Geburtstag sind.
Du musst also noch genau 6 Jahre warten, bis Du volljährig wirst.
Gleichungen können nicht nur rechnerisch, sondern auch grafisch gelöst werden.
Gleichungen grafisch lösen
Um eine Gleichung grafisch lösen zu können, werden beide Seiten einer Gleichung voneinander getrennt aufgeschrieben und in eine Funktion umgewandelt. Anhand eines Beispiels sieht dies wie folgt aus:
Aufgabe 3
Löse die Gleichung grafisch!
Lösung
Schreibe als Erstes die Gleichung hin:
Jetzt werden beide Seiten getrennt voneinander betrachtet. Jede Seite wird jetzt als eine eigene Funktion dargestellt.
Werden jetzt beide Funktionen in ein Koordinatensystem eingezeichnet, kann die Aufgabe gelöst werden.
Abbildung 4: Gleichung grafisch lösen
Wie folgende Abbildung zeigt, schneiden sich beide Geraden genau an einem Punkt S, an dem der Wert für x genau 6 ist.
Die Lösung lautet somit .
Weiteres zum Lösen von Gleichungen findest Du im jeweiligen Beitrag auf StudySmarter!
Welche Arten von Gleichungen gibt es grundsätzlich in der Mathematik?
Arten von Gleichungen – Übersicht
Folgende Tabelle gibt Dir eine Übersicht über die grundlegenden Arten der Gleichungen, welche es so gibt, jeweils mit dem allgemeinen Ausdruck der Gleichung oder einem Beispielausdruck.
| Lineare Gleichungen | Quadratische Gleichungen | Potenzgleichungen | Exponentialgleichungen | Bruchgleichungen | Wurzelgleichungen |
Im Matheunterricht wirst Du öfter auf Textaufgaben stoßen, aus welchen Du sogenannte äquivalente Gleichungen aufstellen und lösen musst. Wie dies geht, erfährst Du jetzt!
Äquivalente Gleichungen
Mehrere Gleichungen sind dann äquivalent, wenn alle dieselbe Lösung haben, sprich gleich sind. Ein Beispiel wären folgende zwei Gleichungen:
Beide Gleichungen haben die Lösung , somit handelt es sich hierbei um äquivalente Gleichungen. Ein Merkmal äquivalenter Gleichungen ist, dass diese gleichgesetzt werden können, da beide das identische Ergebnis haben.
Äquivalente Gleichungen gleichsetzen
Werden grundsätzlich Gleichungen anhand des vorherigen Beispiels so freigestellt, dass jeweils alles auf eine Seite geschoben wird, sieht dies wie folgt aus:
Da beide Gleichungen auf einer Seite dasselbe Ergebnis haben, nämlich die 0, können diese zusammen als eine Gleichung dargestellt und gelöst werden:
Nun kann diese Gleichung mithilfe der zuvor beschriebenen Schritte gelöst werden.
Somit lautet das Ergebnis .
Mehr zum Thema Äquivalente Gleichungen findest Du im verlinkten Artikel!
Gleichungen können nicht nur rechnerisch, sondern auch grafisch gelöst werden.
Lineare Gleichungssysteme
Sollten hingegen mehrere Variablen mithilfe mehrerer Gleichungen herausgefunden werden, so kann dies mithilfe verschiedener Methoden im sogenannten linearen Gleichungssystem (LGS) gelöst werden.
Eine mögliche Vorgehensweise des Lösens eines linearen Gleichungssystems würde wie folgt aussehen:
Aufgabe
Finde die Werte für x und y des folgenden linearen Gleichungssystems:
Lösung
Dieses Gleichungssystem könnte gelöst werden, indem das x aus der zweiten Gleichung berechnet und anschließend in die erste Gleichung eingesetzt wird:
Nun kann die in die erste Gleichung anstelle des x eingesetzt und die Gleichung nach y aufgelöst werden.
Die beiden Gleichungen werden gelöst, wenn und
ergeben.
Mehr zu den verschiedenen Lösungswegen und Methoden findest Du im Beitrag LGS lösen.
Abschließend noch einige vertiefende wiederholende Übungsbeispiele zum Thema Gleichungen.
Gleichungen – Aufgaben & Beispiele
Folgende praktische Beispiele sollen das Erlernte vertiefen.
Aufgabe 3
Löse folgende Gleichung:
Lösung
Erstmals wird die Äquivalenzumformung durchgeführt und anschließend die Gleichung gelöst.
Die Lösung lautet somit .
Auf geht's zum nächsten Beispiel!
Aufgabe 4
"Du hast von Deinen Eltern ein monatliches Taschengeld in Höhe von erhalten. Davon kaufst Du Dir eine Packung Chips für
, eine Packung Pringles für
und eine Packung Gummibärchen, jedoch kannst Du Dich nicht an den Preis dieser erinnern. Die Kassiererin gibt Dir genau
zurück. Berechne den Preis der Gummibärchen!"
Lösung
Hierfür musst Du dies als Gleichung hinschreiben. Dies sieht wie folgt aus:
Jetzt kommt die Äquivalenzumformung zur Anwendung und anschließend wird die Gleichung aufgelöst.
Die Gummibärchen haben gekostet.
Bereit für die letzte Aufgabe?
Aufgabe 5
"Dein Vater sagt an Deinem 14. Geburtstag: Vor 6 Jahren war ich noch 5 Mal so alt wie Du! Berechne das Alter Deines Vaters!
Lösung
Die Gleichung sieht wie folgt aus:
Dein Vater ist jetzt 46 Jahre alt.
Gleichungen – Das Wichtigste
- Gleichungen werden durch das Zeichen '=' gekennzeichnet.
- Bei Gleichungen muss immer auf beiden Seiten dieselbe Rechnung durchgeführt werden.
- Um eine Gleichung lösen zu können, muss die Unbekannte auf einer Seite allein stehen (Äquivalenzumformung)
- Eine lineare Gleichung hat die Form
- Gleichungen können sowohl rechnerisch als auch grafisch gelöst werden.
Nachweise
- Kemnitz (2010). Mathematik zum Studienbeginn. Vieweg + Teubner Verlag
- Böge (1995). Das Techniker Handbuch. Springer Fachmedien Wiesbaden.
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Häufig gestellte Fragen zum Thema Gleichungen
Welche Arten von quadratischen Gleichungen gibt es?
Es gibt folgende zwei Arten von quadratischen Gleichungen:
- Reinquadratische Gleichungen
- ax² + c = 0
- Gemischtquadratische Gleichungen
- ax² + bx + c = 0
Was gibt es für Gleichungen?
Es gibt lineare Gleichungen, Quadratische Gleichungen, Potenzgleichungen, Exponentialgleichungen, Bruchgleichungen, Wurzelgleichungen und Transzendente Gleichungen.
Was sind nichtlineare Gleichungen?
Hierunter versteht man alle Gleichungen, welche nicht der Form ax + b = 0 entsprechen.
Wie heißen die Teile einer Gleichung?
Die beiden Seiten der Gleichung werden als Terme bezeichnet, welche von einem Gleichzeichen getrennt werden.
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