Rang einer Matrix

Aufgabe 1

Berechne den Rang der Matrix $A=\left(\begin{array}{ccc}4& 1& 3\\ -2& 2& -1\\ 1& 5& -5\end{array}\right)$.

Lösung

Zuerst musst Du feststellen, ob es sich bei der Matrix $A$ um eine quadratische Matrix handelt.

$$\begin{array}{rl}m& =3\\ n& =3\\ m& =n=3\end{array}$$

Jetzt berechnest Du die Determinante der Matrix.

$$\begin{array}{rl}det(A)& =det\left(\begin{array}{ccc}4& 1& 3\\ -2& 2& -1\\ 1& 5& -5\end{array}\right)\\ & =4\cdot 2\cdot (-5)+1\cdot (-1)\cdot 1+3\cdot (-2)\cdot 5-1\cdot 2\cdot 3-5\cdot (-1)\cdot 4-(-5)\cdot (-2)\cdot 1\\ & =-40-1-30-6+20-10\\ & =-67\end{array}$$

Das heißt, die Determinante der Matrix $A$ ist ungleich null. Also stimmt der Rang der Matrix mit der Anzahl der Spalten und Zeilen überein. Der Rang der Matrix ist $3$.

Aufgabe 2

Berechne den Rang der Matrix $A=\left(\begin{array}{cccc}2& 1& 0& 3\\ 4& 1& -2& 0\\ -1& 0& -4& 2\end{array}\right)$.

Lösung

Zunächst beginnst Du mit der Umformung der Matrix zur Stufenform. Dafür formst Du die Matrix so um, dass die erste Spalte $\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ ist.

$$\begin{array}{rl}& \left(\begin{array}{cccc}2& 1& 0& 3\\ 4& 1& -2& 0\\ -1& 0& -4& 2\end{array}\right)\begin{array}{c}\\ 2\cdot Z_1-Z_2\\ \end{array}\\ \\ & \left(\begin{array}{cccc}2& 1& 0& 3\\ 0& 1& 2& 6\\ -1& 0& -4& 2\end{array}\right)\begin{array}{c}\\ \\ 2\cdot Z_3+Z_1\end{array}\\ \\ & \left(\begin{array}{cccc}2& 1& 0& 3\\ 0& 1& 2& 6\\ 0& 1& -8& 7\end{array}\right)\end{array}$$

Danach soll die zweite Spalte in Form $\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ gebracht werden.

$$\begin{array}{rl}& \left(\begin{array}{cccc}2& 1& 0& 3\\ 0& 1& 2& 6\\ 0& 1& -8& 7\end{array}\right)\begin{array}{c}\\ \\ Z_3-Z_2\end{array}\\ \\ & \left(\begin{array}{cccc}2& 1& 0& 3\\ 0& 1& 2& 6\\ 0& 0& -10& 1\end{array}\right)\end{array}$$

Nachdem Du die Matrix $A$ in Stufenform hast, musst Du nur noch die Zeilen zählen, welche keine Nullzeilen sind.

$$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{cccc}2& 1& 0& 3\\ 0& 1& 2& 6\\ 0& 1& -10& 1\end{array}\right)\begin{array}{cc}& \text{keine Nullzeile}\\ & \text{keine Nullzeile}\\ & \text{keine Nullzeile}\end{array}\end{array}$$

Bei dieser Matrix sind alle drei Zeilen keine Nullzeilen, das heißt, der Rang der Matrix ist $\text{r}(A)=3$.

Aufgabe 3

Ermittle den Rang der Matrix $A=\left(\begin{array}{ccc}5& -1& 2\\ 2& 2& 4\\ 4& -4& 0\end{array}\right)$.

Lösung

Zunächst beginnst Du mit der Umformung der Matrix zur Stufenform. Dafür formst Du die Matrix so um, dass die erste Spalte $\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ ist.

$$\begin{array}{rl}& \left(\begin{array}{ccc}5& -1& 2\\ 2& 2& 4\\ 4& -4& 0\end{array}\right)\begin{array}{c}\\ 2\cdot Z_1-5\cdot Z_2\\ \end{array}\\ \\ & \left(\begin{array}{ccc}5& -1& 2\\ 0& -12& -16\\ 4& -4& 0\end{array}\right)\begin{array}{c}\\ \\ 4\cdot Z_1-5\cdot Z_3\end{array}\\ \\ & \left(\begin{array}{ccc}5& -1& 2\\ 0& -12& -16\\ 0& 16& 0\end{array}\right)\end{array}$$

Danach soll die zweite Spalte in Form $\left(\begin{array}{c}-1\\ -12\\ 0\end{array}\right)$ gebracht werden.

$$\begin{array}{rl}& \left(\begin{array}{ccc}5& -1& 2\\ 0& -12& -16\\ 0& 16& 0\end{array}\right)\begin{array}{c}\\ \\ 3\cdot Z_3+4\cdot Z_2\end{array}\\ \\ & \left(\begin{array}{ccc}5& -1& 2\\ 0& -12& -16\\ 0& 0& -64\end{array}\right)\end{array}$$

Nachdem Du die Matrix $A$ in Stufenform hast, musst Du nur noch die Zeilen zählen, welche keine Nullzeilen sind.

$$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{ccc}5& -1& 2\\ 0& -12& -16\\ 0& 0& -64\end{array}\right)\begin{array}{cc}& \text{keine Nullzeile}\\ & \text{keine Nullzeile}\\ & \text{keine Nullzeile}\end{array}\end{array}$$

Bei dieser Matrix sind alle drei Zeilen keine Nullzeilen, das heißt, der Rang der Matrix ist $\text{r}(A)=3$.

Aufgabe 4

Gegeben ist die Matrix $A=\left(\begin{array}{ccc}6& -1& 2\\ -2& 5& a\\ 0& 3& -1\end{array}\right)$, mit $a\in \mathbb{R}$. Berechne den Rang der Matrix in Abhängigkeit von dem Parameter $a$.

Lösung

Zunächst beginnst Du mit der Umformung der Matrix zur Stufenform. Dafür formst Du die Matrix so um, dass die erste Spalte $\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ ist.

$$\begin{array}{rl}& \left(\begin{array}{ccc}6& -1& 2\\ -2& 5& a\\ 0& 3& -1\end{array}\right)\begin{array}{c}\\ Z_1+3\cdot Z_2\\ \end{array}\\ \\ & \left(\begin{array}{ccc}6& -1& 2\\ 0& 14& 3a+2\\ 0& 3& -1\end{array}\right)\begin{array}{}\end{array}\end{array}$$

Danach soll die zweite Spalte in Form $\left(\begin{array}{c}-1\\ 14\\ 0\end{array}\right)$ gebracht werden.

$$\begin{array}{rl}& \left(\begin{array}{ccc}6& -1& 2\\ 0& 14& 3a+2\\ 0& 3& -1\end{array}\right)\begin{array}{c}\\ \\ 14\cdot Z_3+3\cdot Z_2\end{array}\\ \\ & \left(\begin{array}{ccc}6& -1& 2\\ 0& 14& 3a+2\\ 0& 0& 9a-8\end{array}\right)\end{array}$$

Nachdem Du die Matrix $A$ in Stufenform hast, musst Du nur noch die Zeilen zählen, welche keine Nullzeilen sind.

$$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{ccc}6& -1& 2\\ 0& 14& 3a+2\\ 0& 0& 9a-8\end{array}\right)\begin{array}{cc}& \text{keine Nullzeile}\\ & \text{keine Nullzeile}\\ & \text{abhängig von a}\end{array}\end{array}$$

Ob die letzte Zeile eine Nullzeile ist abhängig von dem Parameter $a$. Damit Du weißt, bei welchem Parameter $a$ die Matrix eine Nullzeile bekommt, setzt Du den Term gleich null und führst eine Fallunterscheidung durch.

$$\begin{array}{rlrl}9a-8& =0& |& +8\\ 9a& =8& |& :9\\ a& =\frac{8}{9}\end{array}$$

Das heißt für die letzte Zeile, wenn $a=\frac{8}{9}$ ist es eine Nullzeile. Der Rang der Matrix ist dann folgendermaßen $\text{r}(A)=\{\begin{array}{c}2a=\frac{8}{9}\\ 3a\ne \frac{8}{9}\end{array}$.