Trigonometrische Gleichungen

Bei diesen Gleichungen handelt es sich um trigonometrische Gleichungen:

• $sin(x)=\frac{1}{2}x$
• $\sqrt{2}-5=cos(x)+3$
• $2\cdot tan(x)=16,6$

In Deinem Buch steht etwa die folgende Gleichung:

$$sin(x)=\frac{1}{2}x$$

Dann kannst Du die beiden Terme links und rechts des Gleichheitszeichens als einzelne Funktionen schreiben.

$$f(x)=sin(x)$$

$$g(x)=\frac{1}{2}x$$

Sie haben genau dort den gleichen Funktionswert, wo sie sich schneiden.

Abb. 3 - Trigonometrische Gleichungen lösen Schnittpunkt

Die Lösungen liegen also bei:

$$x_1\approx -1,90$$

$$x_2=0$$

$$x_3\approx 1,90$$

Aufgabe 1

Löse die trigonometrische Gleichung innerhalb des Intervalls $I=[-\pi ;\pi ]$.

$$sin(x)+1=1,25$$

Lösung

Bringe zunächst die Winkelfunktion alleine auf eine Seite.

$$\begin{array}{rlrl}sin(x)+1& =1,25& & |-1\\ sin(x)& =0,25\end{array}$$

Anschließend kannst Du die Gleichung mithilfe der $arcsin$-Taste auf Deinem Taschenrechner lösen.

$$\begin{array}{rl}sin(x)& =1,25\\ x& =arcsin(0,25)\\ x_1& \approx 0,25\end{array}$$

Die zweite Lösung liegt beim Sinus bei $\pi$ abzüglich der ersten Lösung.

$$\begin{array}{rl}{x}_2& =\pi -0,25\\ x_2& \approx 2,89\end{array}$$

Zuletzt ist die Frage, welche der unendlich vielen Lösungsmöglichkeiten innerhalb des gesuchten Intervalls liegen.

In diesem Fall sind das nur diese zwei Lösungen $x_1$ und $x_2$, alle weiteren Lösungen ($x_{1/2}+n\cdot 2\pi$) liegen außerhalb des gesuchten Intervalls $I=[-\pi ;\pi ]$.

Aufgabe 2

Bestimme die Nullstellen der Funktion f(x).

$$f(x)=cos(x)-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Lösung

Setze zunächst den Funktionsterm mit $0$ gleich, um die Nullstellen zu berechnen.

$$cos(x)-\frac{\sqrt{3}}{2}=0$$

Dann stellst Du die Gleichung so um, dass die Winkelfunktion alleine auf einer Seite steht.

$$cos(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Jetzt kannst Du über den sogenannten $arccos$ oder auch $co{s}^{-1}$ (auf dem Taschenrechner) die erste Lösung bestimmen.

$$x=arccos(\frac{\sqrt{3}}{2})$$

Die erste Lösung ist also $x_1=\frac{1}{6}\pi$.

Ein Blick auf die Darstellung der Funktion zeigt, warum das unvollständig wäre.

Abb. 4 - Schnittpunkte einer trigonometrischen Funktion.

Denn beim symmetrischen Kosinus gibt es auf der anderen Seite der x-Achse noch eine zweite Lösung.

$$x_2=-\frac{1}{6}\pi$$

Diese wird üblicherweise innerhalb von $360°$ beziehungsweise $2\pi$ angegeben, womit die zweite Lösung dann, nach einer vollständigen Drehung wäre:

$$x_2=2\pi -\frac{1}{6}\pi =\frac{11}{6}\pi$$

Korrekt sind also alle diese Lösungen, genauso wie unendlich viele andere Lösungen, die jeweils eine komplette Periode von diesen beiden entfernt sind.

Damit ergeben sich als vollständige Lösungen:$$x_1=\frac{1}{6}\pi +n\cdot 2\pi ;n\in \mathbb{Z}$$

$$x_2=\frac{11}{6}\pi +n\cdot 2\pi ;n\in \mathbb{Z}$$

Aufgabe 3

Finde die Nullstellen der Funktion:

$$f(x)=tan(x)+\pi$$

Lösung

Setze zunächst die gegebene Funktion mit $0$ gleich.

$$f(x)=tan(x)+\pi =0$$

Stelle die Gleichung dann so um, dass die Winkelfunktion isoliert auf einer Seite steht.

$$tan(x)=-\pi$$

Mit $ta{n}^{-1}$ auf dem Rechner kannst Du dann die Lösungen bestimmen und die Periode des Tanges anhängen.

$$x\approx -1,26+n\cdot \pi \text{ mit }n\in \mathbb{Z}$$

Aufgabe 4

Gib die Lösungen aus Aufgabe 3 ($x\approx -1,26+n\cdot \pi \text{ mit }n\in \mathbb{Z}$) für das Intervall $x\in [-2\pi ;2\pi ]$ an.

Lösung

Die Lösungen liegen bekanntlich bei:

$$x\approx -1,26+n\cdot \pi ;n\in \mathbb{Z}$$

Jetzt musst Du also herausfinden, welche der Lösungen auch in dem Intervall liegen. Dafür schaust Du Dir an, welche n Du einsetzen kannst, um Lösungen innerhalb des Intervalls zu erhalten.

Teste dafür einmal $n=-2$, $n=-1$, $n=1$ und $n=2$ aus.

$$\begin{array}{rl}x& =-1,26-2\cdot \pi \approx -7,55\\ x_2& =-1,26-1\cdot \pi \approx -4,40\\ x_3& =-1,26+1\cdot \pi \approx 1,88\\ x_4& =-1,26+2\cdot \pi \approx 5,02\end{array}$$

Der Wert für $n=-2$ liegt nicht innerhalb des Intervalls, alle anderen schon. Deshalb ergeben sich folgende Lösungen für das begrenzte Intervall $I$:

$$x_1\approx -1,26,x_2\approx -4,40,x_3\approx 1,88\text{ und }{x}_4\approx 5,02$$