Gebrochenrationale Funktionen

Unecht gebrochen rationale Funktionen

• Zählergrad $\ge$ Nennergrad
• Funktion $f(x)$ kann so weit gekürzt werden, dass im Nenner keine Funktion mehr steht $\to$ kein $x$ im Nenner
• Bei den Nullstellen des Nenners hat die Funktion eine hebbare Lücke, für die die Funktion nicht definiert ist.

Echt gebrochen rationale Funktionen

• Zählergrad $<$ Nennergrad
• Die Variable $x$ kann nicht aus dem Nenner der Funktion $f(x)$ gekürzt werden.

Definitionsbereich gebrochen rationale Funktionen

Der Definitionsbereich von gebrochen rationalen Funktionen ist generell für diejenigen $x$-Werte eingeschränkt, für die der Nenner der Funktion gleich null ist. An dieser Stelle existiert eine sogenannte Definitionslücke.

Um den Definitionsbereich einer gebrochen rationalen Funktion $f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$ zu bestimmen, kannst Du also wie folgt vorgehen:

1. Setze den Nenner der Funktion gleich null $\to h(x)=0$
2. Löse die Gleichung nach $x$ auf
3. Grenze die Lösungen $x$, also $x_1,...,x_n$, aus den reellen Zahlen aus $\to {\mathbb{D}}_f=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\{x_1,...,x_n\}$.

Gebrochen rationale Funktionen – Nullstellen

Um die Nullstellen einer gebrochen rationalen Funktion $f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$ zu bestimmen, genügt es, nur den Zähler $g(x)$ gleich null zu setzen. Du gehst dabei also wie folgt vor:

1. Setzte den Zähler $g(x)$ gleich null $\to g(x)=0$.
2. Löse die Gleichung nach $x$ auf.
3. Überprüfe, ob die ermittelten Nullstellen auch wirklich im Definitionsbereich der Funktion liegen.

Gebrochen rationale Funktionen – Asymptoten

Wenn Du gebrochen rationale Funktionen auf das Verhalten im Unendlichen untersuchst, betrachtest Du dabei stets die Asymptoten.

Es gibt verschiedene Arten von Asymptoten:

Hat eine gebrochen rationale Funktion eine senkrechte Asymptote, divergiert sie an einer Definitionslücke. Diese Stelle der Funktion wird Polstelle genannt. Die Funktion kann an dieser Stelle gleichzeitig gegen plus und minus unendlich divergieren.

Abb. 3 - Senkrechte Asymptote bzw. Polstelle.

Gebrochen rationale Funktionen ableiten

Gebrochen rationale Funktionen werden über die Quotientenregel abgeleitet.

Leite also zunächst jeweils den Zähler $g(x)$ und den Nenner $h(x)$ der gebrochen rationalen Funktion ab und setze diese dann anschließend in die Ableitungsformel der Quotientenregeln ein.

Gebrochen rationale Funktionen Extrempunkte – Beispiel

1. Bilde die erste und zweite Ableitung von $f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$

Nutze zum Ableiten die Quotientenregel

$$f^{\prime }(x)=\frac{h(x)\cdot g^{\prime }(x)-g(x)\cdot h^{\prime }(x)}{[h(x){]}^2}$$

2. Notwendige Bedingung

Setze die erste Ableitung gleich null, $f^{\prime }(x)=0$, und löse nach $x$ auf.

$$\to \text{potenzielle Ex}\text{tremstelle bei }{x}_E$$

3. Hinreichende Bedingung

Setze $x_E$ in die zweite Ableitung ein

• $f^{″}(x_E)>0\to \text{Tiefpunkt}$
• $f^{″}(x_E)<0\to \text{Hochpunkt}$
• $f^{″}(x_E)=0\to \text{keine Extremstelle}$

4. Extrempunkt bilden

Setze die Extremstelle $x_E$ in die Funktion $f(x)$ ein und löse nach $y$ auf.

$$\to \text{Extrempunkt bei }E=(x_E|f(x_E))$$

Die gebrochen rationale Funktion $f(x)=\frac{8x}{(x-1{)}^2}$ hat also als einzigen Extrempunkt einen Tiefpunkt, also ein lokales Minimum.

Abb. 4 - Gebrochen rationale Funktion mit Tiefpunkt.

Gebrochen rationale Funktionen zeichnen

Um eine gebrochen rationale Funktion zu zeichnen, kannst Du den folgenden Schritten folgen:

1. Bestimme den Definitionsbereich
2. Berechne die Nullstellen und zeichne sie in ein Koordinatensystem.
3. Berechne die Extrempunkte und zeichne diese ebenfalls in Dein Koordinatensystem.
4. Bestimme die Asymptoten und zeichne diese als gestrichelte Linien ins Koordinatensystem.
5. Zeichne jetzt den Funktionsgrafen ausgehend der Nullstellen und Extrempunkte so ein, dass er sich den Asymptoten annähert.

Kurvendiskussion gebrochen rationale Funktionen

Zu einer vollständigen Kurvendiskussion gehören neben dem Ermitteln der Nullstellen und des Definitionsbereiches noch weitere Schritte. In der folgenden Tabelle findest Du einen Überblick, wie Du eine vollständige Kurvendiskussion bei gebrochen rationalen Funktionen durchführen kannst, und worauf Du besonders achten musst.

1. Definitionsbereich bestimmen

• Setze den Nenner der Funktion gleich null $\to h(x)=0$
• Löse die Gleichung nach $x$ auf
• Grenze die Lösungen $x$, also $x_1,...,x_n$, aus den reellen Zahlen aus $\to {\mathbb{D}}_f=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\{x_1,...,x_n\}$.

2. Nullstellen berechnen

• Setzte den Zähler $g(x)$ gleich null $\to g(x)=0$.
• Löse die Gleichung nach $x$ auf.

3. y-Achsenabschnitt bestimmen

• Setze $x=0$ in die $f(x)$ ein $\to y_0=f(0)$

4. Symmetrieverhalten

• Achsensymmetrie zur y-Achse prüfen $\to f(-x)=f(x)$
• Punktsymmetrie zum Ursprung prüfen $\to f(-x)=-f(x)$

5. Asymptote berechnen

• waagrechte Asymptote: Für die Berechnung wird der Limes von $f(x)$ für $x$ gegen $\pm \mathrm{\infty }$ gebildet.
• senkrechte Asymptote: Für die Berechnung wird der Limes von $f(x)$ für $x$ gegen die Definitionslücke gebildet.
• schiefe Asymptote: Berechnung mit Polynomdivision
• kurvenförmige Asymptote: Berechnung mit Polynomdivision

6. Verhalten im Unendlichen

• Bilde den Grenzwert jeder ermittelten Asymptoten
• waagrechte Asymptote: $\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=k$
• senkrechte Asymptote: $\underset{x\to k^{\pm }}{lim}f(x)=\pm \mathrm{\infty }$ mit $k$ als Definitionslücke
• schiefe Asymptote: $\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}(mx+t)=\pm \mathrm{\infty }$
• kurvenförmige Asymptote: $\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}(a{x}^2+bx+c)=\pm \mathrm{\infty }$

7. Extremstellen

• Erste und zweite Ableitung mit Quotientenregel bilden
• Notwendige Bedingung: $f^{\prime }(x)=0\to$ mögliche Extremstelle bei $x_E$
• Hinreichende Bedingung: Setze $x_E$ in die zweite Ableitung ein. $\to \text{wenn }{f}^{″}(x_E)\ne 0\text{ ,dann }{x}_E=\text{Extremstelle}$

8. Monotonie

• Betrachte für die Monotonie die erste Ableitung
• $f^{\prime }(x)>0\to f(x)\text{ streng monoton steigend}$
• $f^{\prime }(x)<0\to f(x)\text{ streng monoton fallend}$

9. Krümmungsverhalten

• Betrachte für die Krümmung die zweite Ableitung
• $f^{″}(x)>0\to f(x)\text{ links-gekrümmt}$
• $f^{″}(x)<0\to f(x)\text{ rechts-gekrümmt}$
• $f^{″}(x)=0\to f(x)\text{ nicht gekrümmt}$

10. Wendestellen berechnen

• Zweite und dritte Ableitung mit Quotientenregel bilden
• Notwendige Bedingung: $f^{″}(x)=0\to$ mögliche Wendestelle bei $x_W$
• Hinreichende Bedingung: Setze $x_W$ in die dritte Ableitung ein. $\to \text{wenn }{f}^{‴}(x_W)\ne 0\text{ ,dann }{x}_W=\text{Wendestelle}$

11. Wertebereich bestimmen

• Welche $y$-Werte kann $f(x)$ annehmen?
• Wertebereich ist abhängig von Lage und Art der Extremstellen, Asymptoten und ggf. der Definitionslücke.
• Am besten zur Bestimmung den Graphen zeichnen.