Grenzwerte

Grenzwerte von Funktionen bestimmen

Den Grenzwert von Funktionen benötigst Du immer dann, wenn Du das Verhalten einer Funktion an einer Stelle überprüfen sollst.

Annähern bedeutet, dass die x-Werte der Funktion dem Wert $c$ unendlich nahe kommen, aber nie erreichen.

Abb. 1 - Grenzwert von Funktionen.

In diesem Beispiel kannst Du das so ausdrücken.

Bei den Funktionen wird der Grenzwert am häufigsten benötigt, doch er kann auch bei Reihen oder Folgen vorkommen.

Endliche Grenzwerte bestimmen

Endliche Grenzwerte bestimmst Du genau wie auch andere Grenzwerte. „Endlich“ bedeutet, dass sich die Funktion einem konkreten endlichen Wert annähert.

In Abbildung 2 findest Du den Graphen der Funktion $f(x)=\frac{1}{x}$. Du siehst, dass der Graph unendlich groß wird, wenn er sich der y-Achse annähert. Mathematisch würdest Du diese Überlegung mit dem rechtsseitigen Limes ${\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{lim}}$ und dem linksseitigen Limes ${\displaystyle \underset{x\to 0^{-}}{lim}}$ testen. Dabei ergibt sich von links der Grenzwert $-\mathrm{\infty }$ und von rechts der Grenzwert $+\mathrm{\infty }$. Diese Grenzwerte sind also unedlich und nicht endlich.

Anders verhält sich der Graph, wenn Du ihn für betragsmäßig sehr große x-Werte betrachtest. Dieses Verhalten würdest Du hier mit dem Limes ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}}$ und ${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}}$. In beiden Fällen läuft der Grenzwert gegen 0. Der Grenzwert ist also endlich.

Abb. 2 - Grenzwert endlich und unendlich.

Limes berechnen – Rechenregeln

Damit Du den Grenzwert auch bei verschachtelten Funktionen berechnen kannst, gibt es ein paar Rechenregeln. Mit diesen kannst Du den Limes von den einzelnen Funktionen berechnen und anschließend rechnest Du die Grenzwerte nur noch zusammen.

Grenzwerte berechnen

Grenzwerte von Funktionen berechnest Du über eine oder mehrere Wertetabellen.

Mehrere Wertetabellen benötigst Du immer dann, wenn Du den linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert von einer Funktion an einer bestimmten Stelle berechnen sollst.

1. In die erste Spalte der Wertetabelle schreibst Du zunächst $x$ und $y$.
2. Danach ergänzt Du in der ersten Zeile die x-Werte gegen den c-Wert von $\underset{x\to c}{lim}$.
3. Von diesen gegen $c$ gehenden x-Werten berechnest Du nun die Funktionswerte und schreibst sie auf.

Wenn Du Dir jetzt die Wertetabelle anschaust, sollte Dir auffallen, gegen welche reelle Zahl oder in die Unendlichkeit die Wertetabelle geht.

Grenzwert berechnen – Beispiele & Aufgaben

Hier kannst Du Dein eben erlerntes Wissen testen.