Integration durch Substitution

Wie integriere ich durch Substitution?

Folgende Schritte solltest du befolgen, wenn du durch Substitution integrieren möchtest:

1. Bereite die Substitution vor
   1. Bestimme den zu substituierenden Term
   2. Löse den zu substituierenden Term nach x auf
   3. Leite den Term nach x ab
   4. Ersetze die Integrationsvariablen

2. Substituiere

3. Integriere

4. Substituiere zurück

Zu Schritt 1.1:

Im ersten Schritt überlegst du dir, welcher Teil der Funktion substituiert werden soll. Das Ziel ist es, das Integral auf ein bekanntes bzw. einfacheres berechenbares Integral zurückzuführen.

Zu Schritt 1.2:

Im zweiten Schritt berechnest du φ(u).

Wenn du dir die Substitutionsregel genauer anschaust, kannst du erkennen, dass gilt:$$\int f(x)=\int f(\phi (u))\cdot {\phi }^{\prime }(u)du\to x=\phi (u)$$ Um φ(u) zu berechnen, musst du die Gleichung aus Schritt 1.1 nach x auflösen.

Zu Schritt 1.3:

Im dritten Schritt berechnest du die Ableitung von φ(u). Also ist φ′(u) gesucht.

Zu Schritt 1.4:

Wenn du dir die Substitutionsregel nun nochmal genauer anschaust, kannst du erkennen, dass gilt: $$\int f(x)=\int f(\phi (u))\cdot {\phi }^{\prime }(u)du\to dx={\phi }^{\prime }(u)du$$ Das heißt, die Integrationsvariable x wird zu u!

Zu Schritt 2:

Substitution ist lateinisch und bedeutet „ersetzen“. Was genau ersetzt wird, schauen wir uns jetzt in einem Beispiel an:

Beispielaufgabe

Die Funktion $F(x)=\int e^{2x}dx$ sei gegeben. Integriere durch Substitution.

1.1. Den zu substituierenden Term bestimmen.

Gesucht ist die Stammfunktion von $e^{2x}$.

Da im Exponenten die 2x sind, und diese uns die Integration erschwert, ersetzen wir die 2x durch die Variable u.

2x = u

1.2 Gleichung aus 1.1 nach x auflösen.

$$\begin{array}{rl}2x& =u\\ x& =\frac{1}{2}u\\ \to \phi (u)& =\frac{1}{2}u\end{array}$$

1.3 Gleichung aus 1.2 ableiten.

$$\phi (u)=\frac{1}{2}$$

1.4 Integrationsvariable einsetzen.

$$\begin{array}{rl}dx& ={\phi }^{\prime }(u)du\\ \to dx& =\frac{1}{2}du\end{array}$$

2. Substitution.

$$\begin{array}{rl}& F(x)=\int e^{2x}dx\text{ mit}\\ & x=\frac{1}{2}u\\ & dx=\frac{1}{2}du\end{array}$$

ergibt$$F(u)=\frac{1}{2}\int e^{u}du$$Durch die Ersetzung eines Teil des Integranden durch Integrationsvariablen konnten wir das Integral vereinfachen. Im nächsten Schritt können wir so leichter integrieren.

3. Integrieren.

$$F(u)=\frac{1}{2}\int e^{u}du=\frac{1}{2}{e}^u+C$$

4. Rücksubstitution.

$$\begin{array}{rl}u& =2x\\ \text{in }F(u)& =\frac{1}{2}{e}^u+C\\ \to F(x)& =\frac{1}{2}{e}^{2x}+C\end{array}$$