Kurvendiskussion

Bestimme den Definitionsbereich der folgenden Funktion: \[f(x)=\frac{3x^2+10}{x-4}\]

Der Nenner eines jeden Bruches darf niemals gleich null sein. Dasselbe gilt auch für den Nenner der Funktion \(f(x)\).

\begin{align}x-4&\neq0&&|+4\\x&\neq4 \end{align}

Die Funktion \(f(x)\) ist demnach für \(x=4\) nicht definiert. Jede andere reelle Zahl darfst Du hingegen für \(x\) einsetzen.\[\rightarrow \mathbb{D}_f=\mathbb{R}\text{ \ {4}}\]

Gesucht sind die Nullstellen der folgenden Funktion: \[f(x)=-4x^2+16\]

Setzte dafür \(f(x)\) gleich null und löse nach \(x\) auf.

\begin{align}f(x)&=0\\[0.2cm]-4x^2+16&=0&&|-16\\-4x^2&=-16&&|:(-4)\\x^2&=4&&|\sqrt{\,}\\x_1&=-2\\x_2&=2\end{align}

Die Funktion \(f(x)\) schneidet die x-Achse bei den Stellen \(x_1=-2\) und \(x_2=2\).

Gesucht ist der y-Achsenabschnitt der Funktion \[f(x)=4e^{x^2}+24x-18\]

Setze dafür in die Funktion \(x=0\) ein.

\begin{align}y_0&=f({\color{#1478C8}0})\\[0.2cm]&=4e^{{\color{#1478C8}0}^2}+24\cdot {\color{#1478C8}0}-18\\&=4-18\\y_0&=-14\end{align}

Die Funktion schneidet die y-Achse im Punkt \(Y_0\,(0|-14)\).

Die Funktion \(f(x)=-0{,}5x^4+3x^2\) hat zum Beispiel ausschließlich gerade Exponenten und ist demnach achsensymmetrisch zur y-Achse.

Abb. 2 - Achsensymmetrie Beispiel

Untersuche, wie sich die Funktion \[f(x)=e^{2x}\cdot 4x^2+2\] im Unendlichen verhält.

Dafür nimmst Du jetzt Deinen Taschenrechner zur Hand und setzt für \(x\) zwei große positive Werte in die Funktion ein.

\begin{align}f(10)&\approx \text{8810588,32}\\f(200)&\approx \text{1,16}\cdot 10^{92}\\ \end{align}

Wie Du siehst, werden die Funktionswerte für steigende x-Werte immer größer.

\[\rightarrow \lim \limits_{x \to \infty} \left(e^{2x}\cdot 4x^2+2 \right) =+\infty\]

Wie sieht es für die negativen x-Werte aus?

\begin{align} f(-10)&\approx \text{2,02}\\ f(-200)&=2\\ \end{align}

Für immer kleiner werdende x-Werte nähert sich die Funktion dem Wert 2 an.

\[\rightarrow \lim \limits_{x \to -\infty} \left(e^{2x}\cdot 4x^2+2\right) =2\]

Gesucht sind die Extremstellen der Funktion \[f(x)=-3 x^4+6 x^2+2\]

Notwendige Bedingung: Setze die erste Ableitung gleich 0.

\begin{align}f'(x)&=0\\-12x^3+12x&=0\end{align}

Daraus ergeben sich folgende potenzielle Extremstellen \[\rightarrow x_1=-1 , \quad x_2=0, \quad x_3=1\]

Hinreichende Bedingung: Setze die potenziellen Extremstellen in die zweite Ableitung \(f''(x)=-36x^2+12\) ein.

\begin{align}&f''(x_1=-1)=-24 &&<0 \rightarrow \text{Hochpunkt}\\&f''(x_2=0)=12 &&>0 \rightarrow \text{Tiefpunkt} \\&f''(x_3=1)=-24&&<0 \rightarrow \text{Hochpunkt}\end{align}

Die Funktion hat also bei den Stellen \(x=-1\) und \(x=1\) zwei lokale Maxima und bei der Stelle \(x=0\) ein lokales Minimum.

Betrachte dazu die Funktion \[f(x)=3 x^4+6 x^2+2\] aus dem vorigen Beispiel.

Abb. 3 - Monotonieverhalten an einem Beispiel

• \(f(x)\) ist streng monoton steigend im Intervall \([-\infty;-1[\)
• \(f(x)\) ist streng monoton fallend im Intervall \(]-1;0[\)
• \(f(x)\) ist streng monoton steigend im Intervall \(]0;1[\)

• \(f(x)\) ist streng monoton fallend im Intervall \(]1;-\infty]\)

Gesucht ist die Wendestelle der Funktion \[f(x)=x^3-6 x^2+9x-1\]

Notwendige Bedingung: Setze die zweite Ableitung gleich 0.

\begin{align}f''(x)&=0\\6x-12&=0\end{align}

Daraus ergibt sich folgende potentielle Wendestelle \[\rightarrow x_W=2\]

Hinreichende Bedingung: Betrachte die dritte Ableitung \(f'''(x)=6\) an der potentiellen Wendestelle \(x_W=2\).

\begin{align}f'''(2)&=6\,\,<0 \rightarrow \text{Rechts-Links-Wendestelle} \end{align}

Die Funktion hat also bei der Stelle \(x=2\) eine Rechts-Links-Wendestelle.

Abb. 4 - Krümmungsverhalten und Wendestelle an einem Beispiel

Die Funktion \(f(x)=x^2+3\) ist für alle reellen Zahlen definiert, hat einen Tiefpunkt bei

\[T=(0|3)\]

und folgendes Verhalten im Unendlichen:

\begin{align}\lim \limits_{x \to \infty}=+\infty \\[0.1cm] \lim \limits_{x \to -\infty}=+\infty \end{align}

Von diesen Informationen kannst Du nun ableiten, dass die Funktion keine y-Werte hat, die kleiner als 3 sind. Es ergibt sich dann ein Wertebereich von \(\mathbb{W}_f=[3;+\infty]\).

Aufgabe 1

Bestimme die Nullstellen der folgenden Funktion: \[f(x)=-3x^4+12x^2\]

Lösung

Setzte dafür \(f(x)\) gleich null und löse nach \(x\) auf.

\begin{align}f(x)&=0\\[0.2cm]-3x^4+12x^2&=0\\x^2\cdot(-3x^2+12)&=0\\[0.2cm] \rightarrow x^2&=0 \\x_1&=0\\[0.2cm] \rightarrow-3x^2+12&=0&&|-12\\-3x^2&=-12&&|:(-3)\\x^2&=4&&|\sqrt{\,}\\x_2&=2\\x_3&=-2\end{align}

Die Nullstellen von \(f(x)\) liegen bei \(x_1=0\), \(x_2=2\) und \(x_3=-2\).

Aufgabe 2

Untersuche das Krümmungsverhalten der folgenden Funktion: \[f(x)=-3x^2+2\]

Lösung

Bilde dafür die zweite Ableitung von \(f(x)\).

\begin{align}f'(x)&=-6x\\f''(x)&=-6\end{align}

Da die zweite Ableitung \(f''(x) > 0\) ist, ist die Funktion \(f(x)\) linksgekrümmt.

Aufgabe 3

Begründe, warum die folgende Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist: \[f(x)=4x^7+3x^3\]

Lösung

Bei Punktsymmetrie zum Ursprung muss folgendes gelten:

\[f(-x)=-f(x)\]

Angewendet auf die vorliegende Funktion ergibt sich Folgendes:

\begin{align}f(-x)&=-f(x)\\[0.2cm]4\cdot (-x)^7+3 \cdot (-x)^3 &=-(4x^7+3x^3)\\-4x^7-3x^3&=-4x^7-3x^3 && \color{#00ff00}\checkmark \end{align}

Ebenso erkennst Du die Punktsymmetrie an den ausschließlich ungeraden Exponenten in der Funktion.