Polynomdivision

Im folgenden Beispiel lernst Du anhand der Funktion$f\left(x\right)=x^3-x^2-4x+4$die einzelnen Schritte kennen.

In der Beispielfunktion ist die Zahl 4 der letzte Koeffizient. Welche Zahlen (aus der Menge der ganzen Zahlen) sind ihr Teiler?

Es sind die Zahlen$\pm 1,\pm 2$und$\pm 4$.

Diese kannst Du in$f\left(x\right)$einsetzen, um zu überprüfen, ob der Funktionsterm dort Null wird. Bei der Zahl 2 bestätigt sich:$f\left(x\right)$besitzt eine Nullstelle bei$x=2$.

$$\begin{gathered} f\left(2\right)=2^3-2^2-4·2+4 \\ =8-4-8+4 \\ =0 \end{gathered}$$

Ist eine Nullstelle bei$x=2$vorhanden, muss der zugehörige Faktor der Funktion$(x-2)$heißen. Denn für 2 wird er Null und damit auch die gesamte Funktion.

Merke Dir diesen Term: Er ist der Divisor, mit dem Du im nächsten Schritt weiterrechnen musst.

Dividiere den Faktor$(x-2)$von der gesamten Funktion$f\left(x\right)=x^3-x^2-4x+4$. Hier die gesamte Rechnung im Überblick:

$$\begin{gathered} (x^3-x^2-4x+4)\hspace{0.17em}:(x-2)=x^2+x-2 \\ \underline{-(x^3-2x^2)} \\ {x}^2-4x+4 \\ \underline{-(x^2-2x)} \\ -2x+4 \\ \underline{-(-2x+4)} \\ 0 \end{gathered}$$

Sieh Dir diese Rechnung Schritt für Schritt an:

Schritt 2.1: Division

Zuerst teilst Du das vordere Polynom der Funktion$x^3$durch den Minuenden des Divisors, in diesem Fall durch x.

$x^3:x=x^2$

Das Ergebnis$x^2$schreibst Du hinten an.

Schritt 2.2: Multiplikation

Nun multiplizierst Du$x^2$mit$(x-2)$. Das Ergebnis (hier$x^3-2x^2$) schreibst Du mit einem Minus vor der Klammer unter die Funktion, um den nächsten Schritt der Subtraktion vorzubereiten.

$x^2(x-2)=x^3-2x^2$

Schritt 2.3: Subtraktion

Führe jetzt eine schriftliche Subtraktion durch und schreibe die übrige Funktionsgleichung unter dem Strich auf.

$$\begin{gathered} (x^3-x^2-4x+4) \\ \underline{-(x^3-2x^2)} \\ 0+x^2-4x+4 \end{gathered}$$

Schritt 2.4: Wiederholung Division, Multiplikation, Subtraktion

Mit dem restlichen Funktionsteil beginnst Du wieder von vorne, indem Du erneut den ersten Summanden (diesmal$x^2$) durch x teilst. Das Ergebnis (x) wird wieder hinten angeschrieben, danach mit$(x-2)$multipliziert und ein weiteres Mal schriftlich abgezogen.

Schritt 2.5: Wiederholung Division, Multiplikation, Subtraktion

Das Ganze geschieht noch ein letztes Mal, bis die Rechnung zu Null aufgeht und der 2. Faktor gefunden ist.

$\begin{array}{cc}-2x:x=-2& \to -2\mathrm{hinten}\mathrm{anschreiben}\\ -2·(x-2)=-2x+4& \to \mathrm{Den}\mathrm{Term}-(-2\mathrm{x}+4)\mathrm{schriftlich}\mathrm{subtrahieren}\end{array}$

Damit erhältst Du folgende Gleichung:

$(x-2)(x^2+x-2)=0$

Berechne die Nullstellen des 2. Faktors$(x^2+x-2)$mithilfe der pq-Formel. Die Nullstelle x₁ kann direkt am ersten Faktor abgelesen werden:$x_1=2$.

$$\begin{gathered} \mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{}\mathbf{Faktor}\mathbf{:}\mathbf{}{x}^2+x-2=0 \\ {x}_{2/3}=-\frac{1}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2-(-2)} \\ =-0,5\pm \sqrt{0,25+2} \\ =-0,5\pm \sqrt{2,25} \\ =-0,5\pm 1,5 \\ {x}_2=-0,5+1,5=1 \\ {x}_3=-0,5-1,5=-2 \end{gathered}$$

Damit hast Du mithilfe der Polynomdivision alle Nullstellen ermittelt. Das fertige Polynom lautet:

$f\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)$

Abbildung 4: Polynomdivision Beispiel 1

Aufgabe

Finde die Nullstellen der Funktion$f\left(x\right)=x^4-4x^3-13x^2+4x+12$mithilfe der Polynomdivision.

Lösung

1. Schritt: Divisor finden

Aufgrund des Tricks weißt Du, dass nur ganzzahlige Teiler des letzten Koeffizienten Nullstellen der Funktion sein können. Der letzte Koeffizient ist die Zahl 12 mit ihren Teilern$\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 4,\pm 6,\pm 12$. Versuche, erst einmal die leichten Zahlen zu testen. Bei$x=1$wirst Du Erfolg haben:

$$\begin{gathered} f\left(1\right)=1^4-4·1^3-{13·1}^2+4·1+12 \\ =1-4-13+4+12 \\ =0 \end{gathered}$$

2. Schritt: Polynomdivision durchführen

In diesem Schritt teilst Du die Funktion$f\left(x\right)$schriftlich durch den gefundenen Divisor$(x-1)$.

$$\begin{gathered} (x^4-4x^3-13x^2+4x+12):(x-1)=x^3-3x^2-16x-12 \\ \underline{-(x^4-x^3)} \\ -3x^3-13x^2+4x+12 \\ \underline{-(-3x^3+3x^2)} \\ -16x^2+4x+12 \\ \underline{-(-16x^2+16x)} \\ -12x+12 \\ \underline{-(-12x+12)} \\ 0 \end{gathered}$$

Schritt 2.1: Division, Multiplikation, Subtraktion

Der erste Linearfaktor der Funktion wird durch das x des Divisors dividiert und hinten angeschrieben. Das Ergebnis multiplizierst Du mit dem Divisor und subtrahierst danach diesen Term schriftlich vom Funktionsterm.

$$\begin{gathered} x^4:x=x^3\to {\mathrm{x}}^3\mathrm{hinten}\mathrm{anschreiben} \\ {\mathrm{x}}^3·(\mathrm{x}-1)={\mathrm{x}}^4-{\mathrm{x}}^3\to \mathrm{den}\mathrm{Term}-({\mathrm{x}}^4-{\mathrm{x}}^3)\mathrm{schriftlich}\mathrm{subtrahieren} \end{gathered}$$

Schritt 2.2: Division, Multiplikation, Subtraktion wiederholen

$$\begin{gathered} -3x^3:x=-3x^2\to -3{\mathrm{x}}^2\mathrm{hinten}\mathrm{anschreiben} \\ -3x^2·(x-1)=-3x^3+3x^2\to \mathrm{den}\mathrm{Term}-(-3{\mathrm{x}}^3+3{\mathrm{x}}^2)\mathrm{schriftlich}\mathrm{subtrahieren} \end{gathered}$$

Schritt 2.3:

$$\begin{gathered} -16x^2:x=-16x\to -16xhintenanschreiben \\ -16x·(x-1)=-16x^2+16x\to \mathrm{den}\mathrm{Term}-(-16{\mathrm{x}}^2+16\mathrm{x})\mathrm{schriftlich}\mathrm{subtrahieren} \end{gathered}$$

Schritt 2.4:

$$\begin{gathered} -12x:x=-12\to -12\mathrm{hinten}\mathrm{anschreiben} \\ -12·(\mathrm{x}-1)=-12\mathrm{x}+12\to \mathrm{den}\mathrm{Term}-(-12\mathrm{x}+12)\mathrm{schriftlich}\mathrm{subtrahieren} \end{gathered}$$

Damit hast Du die Funktion bereits in zwei Faktoren zerlegt. Sie sieht jetzt so aus:

$f\left(x\right)=(x-1)(x^3-3x^2-16x-12)$

An dieser Stelle kannst Du die Nullstellen noch nicht ermitteln, da der zweite Faktor noch immer eine Funktion dritten Grades ist.

Mit dem Term des zweiten Faktors musst Du deshalb eine zweite Polynomdivision durchführen, um ihn noch weiter zu zerlegen:

$g\left(x\right)=(x^3-3x^2-16x-12)$

3. Schritt: Divisor finden

Finde nun erneut einen Divisor. Versuche es mit einigen der Zahlen$\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 4,\pm 6,\pm 12$, denn auch hier steht die Zwölf als letzter Koeffizient.

Für$x=-1$ergibt der Faktor Null. Du kannst also$(x+1)$als Divisor verwenden.

$$\begin{gathered} g(-1)={(-1)}^3-3·{(-1)}^2-16·(-1)-12 \\ =-1-3+16-12 \\ =0 \end{gathered}$$

4. Schritt: zweite Polynomdivision durchführen

Dividiere den Faktor$g\left(x\right)$mit dem Divisor$(x+1)$.

$$\begin{gathered} (x^3-3x^2-16x-12):(x+1)=x^2-4x-12 \\ \underline{-(x^3+x^2)} \\ -4x^2-16x-12 \\ \underline{-(-4x^2-4x)} \\ -12x-12 \\ \underline{-(-12x-12)} \\ 0 \end{gathered}$$

Schritt 4.1: Division, Multiplikation, Subtraktion

$$\begin{gathered} x^3:x=x^2\to x^2\mathrm{hinten}\mathrm{anschreiben} \\ {\mathrm{x}}^2·(\mathrm{x}+1)={\mathrm{x}}^3+{\mathrm{x}}^2\to \mathrm{den}\mathrm{Term}-({\mathrm{x}}^3+{\mathrm{x}}^2)\mathrm{schriftlich}\mathrm{subtrahieren} \end{gathered}$$

Schritt 4.2:

$$\begin{gathered} -4x^2:x=-4x\to -4\mathrm{x}\mathrm{hinten}\mathrm{anschreiben} \\ -4\mathrm{x}·(\mathrm{x}+1)=-4{\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}\to \mathrm{den}\mathrm{Term}-(-4{\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x})\mathrm{schriftlich}\mathrm{subtrahieren} \end{gathered}$$

Schritt 4.3:

$$\begin{gathered} -12x:x=-12\to -12\mathrm{hinten}\mathrm{anschreiben} \\ -12·(\mathrm{x}+1)=-12\mathrm{x}-12\to \mathrm{den}\mathrm{Term}-(-12\mathrm{x}-12)\mathrm{schriftlich}\mathrm{subtrahieren} \end{gathered}$$

Somit hast Du auch diesen Faktor noch einmal zerlegt. Du erhältst nun die folgende Funktion f(x):

$f\left(x\right)=(x-1)(x+1)(x^2-4x-12)$

5. Schritt: Nullstellen bestimmen

Von dem quadratischen Teil der Funktion kannst Du jetzt wie gewohnt die Nullstellen bestimmen:

$$\begin{gathered} \mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{}\mathbf{Faktor}\mathbf{:}\mathbf{}({\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}-12) \\ {x}_{3/4}=-\frac{(-4)}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{-4}{2}\right)}^2-(-12)} \\ =2\pm \sqrt{4+12} \\ =2\pm 4 \\ {x}_3=2+4=6 \\ {x}_4=2-4=-2 \end{gathered}$$

Damit hast Du bei einer Funktion vierten Grades alle Linearfaktoren bestimmt. Die zerlegte Funktion lautet:

Abbildung 5: Polynomdivision Beispiel 2

Aufgabe

Die Funktion$f\left(x\right)=x^3+3x^2-6x-8$besitzt eine Nullstelle bei$x=1$. Führe eine Polynomdivision durch und gib die Funktion als Produkt an.

Lösung

1. Schritt: Die Funktion$f\left(x\right)$besitzt eine Nullstelle bei$x=1$. Das bedeutet, einer ihrer Faktoren muss$(x-1)$heißen. Mit diesem Divisor führst Du nun die Polynomdivision durch.

2. Schritt: Polynomdivision in vier Teilschritten:

$$\begin{gathered} (x^3+3x^2-6x-8):(x-1)=x^2+4x-2+\frac{(-10)}{x-1} \\ \underline{-(x^3-x^2)} \\ 4x^2-6x-8 \\ \underline{-(4x^2-4x)} \\ -2x-8 \\ \underline{-(-2x+2)} \\ -10\leftarrow \mathrm{Rest} \end{gathered}$$

Schritt 2.1

Teile das erste Polynom ($x^3$) der Funktion durch den Minuenden des Divisors ($x$). Das Ergebnis ($x^2$) wird hinten angeschrieben und mit$(x-1)$multipliziert. Diesen Term ($x^3-x^2$) subtrahierst Du jetzt schriftlich von der Funktion.

$$\begin{gathered} x^3:x=x^2\to x^2\mathrm{hinten}\mathrm{anschreiben} \\ {x}^2·(x-1)=x^3-x^2\to \mathrm{den}\mathrm{Term}-({\mathrm{x}}^3-{\mathrm{x}}^2)\mathrm{schriftlich}\mathrm{subtrahieren} \end{gathered}$$

Schritt 2.2

Wiederhole diesen Teilschritt:

$\begin{array}{cc}4x^2:x=4x& \to 4\mathrm{x}\mathrm{hinten}\mathrm{anschreiben}\\ 4x(x-1)=4x^2-4x& \to \mathrm{den}\mathrm{Term}-(4{\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x})\mathrm{schriftlich}\mathrm{subtrahieren}\end{array}$

Schritt 2.3

Nutze ein letztes Mal die gleiche Vorgehensweise:

$\begin{array}{cc}-2x:x=-2& \to -2\mathrm{hinten}\mathrm{anschreiben}\\ -2·(x-1)=-2x+2& \to \mathrm{den}\mathrm{Term}-(-2\mathrm{x}+2)\mathrm{schriftlich}\mathrm{subtrahieren}\end{array}$

Bei einer Polynomdivision gibt man den Rest als Quotienten aus der Restzahl ($-10$) und dem Divisor ($x-1$) an. Man schreibt diesen Ausdruck ($\frac{-10}{x-1}$) an das Ende der Rechnung. Der berechnete Faktor

$x^2+4x-2-\frac{10}{x-1}$

stellt aufgrund des Bruchterms am Ende eine gebrochen rationale Funktion dar.

Aufgabe

Finde die Nullstellen der Funktion $f\left(x\right)=x^3-3x^2-10x+24$, indem du eine Polynomdivision anwendest.

Tipp: Die Funktion hat eine Nullstelle bei $x=2$.

Lösung

1. Schritt: Eine Nullstelle der Funktion$f\left(x\right)$liegt bei$x=2$. In der Faktorschreibweise der Funktion muss also der Faktor$(x-2)$enthalten sein.

2. Schritt: Die Funktion$f\left(x\right)$kannst Du deshalb durch$(x-2)$dividieren, um einen weiteren Faktor zu ermitteln. Dies geschieht in drei Teilschritten:

$$\begin{gathered} (x^3-3x^2-10x+24):(x-2)=x^2-x-12 \\ \underline{-(x^3-2x^2)} \\ -1x^2-10x+24 \\ \underline{-(1x^2+2x)} \\ -12x+24 \\ \underline{-(-12x+24)} \\ 0 \end{gathered}$$

Schritt 2.1

Teile das erste Polynom ($x^3$) der Funktion durch den Minuenden des Divisors (x). Das Ergebnis wird hinten angeschrieben:

$x^3:x=x^2\to x^2\mathrm{hinten}\mathrm{anschreiben}$

Multipliziere das Ergebnis der Rechnung mit$(x-2)$:

$x^2·(x-2)=x^3-2x^2$

Diesen Term ($x^3-2x^2$) subtrahierst Du jetzt schriftlich von der Funktion:

$\to -(x^3-2x^2)\mathrm{schriftlich}\mathrm{subtrahieren}$

Schritt 2.2

Wiederhole diese Teilschritte ein weiteres Mal:

$$\begin{gathered} -1x^2:x=-x\to -x\mathrm{hinten}\mathrm{anschreiben} \\ -x(x-2)=-x^2+2x\to \mathrm{den}\mathrm{Term}-(-{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x})\mathrm{schriftlich}\mathrm{subtrahieren} \end{gathered}$$

Schritt 2.3 Nach dem letzten Schritt geht die Polynomdivision auf Null auf:

$$\begin{gathered} -12x:x=-12\to -12\mathrm{hinten}\mathrm{anschreiben} \\ -12·(x-2)=-12x+24\to \mathrm{den}\mathrm{Term}-(-12\mathrm{x}+24)\mathrm{schriftlich}\mathrm{subtrahieren} \end{gathered}$$

Damit kannst Du die Funktionsgleichung jetzt folgendermaßen schreiben:

$f\left(x\right)=(x-2)(x^2-x-12)$

3. Schritt: Um die Nullstellen der quadratischen Funktion zu erhalten, kannst Du wieder die pq-Formel anwenden.

$$\begin{gathered} \mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{}\mathbf{Faktor}\mathbf{:}(x^2-x-12) \\ {x}_{2/3}=-\frac{(-1)}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{-1}{2}\right)}^2-(-12)} \\ =0,5\pm \sqrt{11,75} \\ =0,5\pm 3,4 \\ {x}_2=3,9 \\ {x}_3=-2,9 \end{gathered}$$

Die fertig zerlegte Funktion lautet:

$f\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(x-3,9\right)\left(x+2,9\right)$

Die Nullstellen der Funktion$f\left(x\right)$liegen bei$x_1=2$,$x_2=3,9$und$x_3=-2,9$.