Stetige Verteilung

Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung

Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen beschreiben die Verteilung der Werte einer stetigen Zufallsgröße.

Stetige Verteilung – Definition

Was ist eine stetige Zufallsgröße?

Vereinfacht gesagt: Wenn Du die möglichen Werte einer Zufallsgröße nicht abzählen kannst, ist sie stetig.

Jede stetige Wahrscheinlichkeitsfunktion wird durch eine Dichtefunktion $\phi (x)$ beschrieben mit

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\phi (x)dx=1$$

Punktwahrscheinlichkeit stetige Verteilung

Die Wahrscheinlichkeit einer stetigen Zufallsvariablen kann anhand der Fläche unter der Kurve der Dichtefunktion abgelesen werden.

In Abbildung 1 siehst Du die Kurve der Dichtefunktion der Standardnormalverteilung. Dann entspricht $P(0\le x\le 1)$ genau der Fläche unter der Dichtefunktion von $0$ bis $1$. Zur genauen Berechnung verwendest Du das Integral.

Abb. 1 - Dichtefunktion der Standardnormalverteilung.

Aber nur für Intervalle kann eine Wahrscheinlichkeit ungleich null angeben werden.

Die Wahrscheinlichkeit für einen einzigen Wert einer stetigen Zufallsvariablen liegt immer bei null:

$$P(X=x)=0\text{ für alle }x$$

Deswegen wird auch gesagt: Die Punktwahrscheinlichkeit einer stetigen Zufallsvariablen ist immer $0$.

Aber warum ist die Punktwahrscheinlichkeit immer $0$?

Eine stetige Zufallsgröße kann unendlich viele Werte annehmen. Wenn jetzt jedem dieser Werte eine Wahrscheinlichkeit ungleich Null zugeordnet wird, gibt es auch unendlich viele Wahrscheinlichkeiten. Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten $P(X=x)$ muss aber genau $1$ sein. Dies ist nicht möglich, wenn sich immer weitere Summanden finden lassen.

Unterschied diskrete und stetige Verteilung

Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen unterscheiden sich stark von diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen geben die Wahrscheinlichkeiten für diskrete Zufallsvariablen an. Die möglichen Werte einer diskreten Zufallsvariablen sind abzählbar, meist sogar endlich.

Unter "Diskrete Verteilung" kannst Du mehr über diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen erfahren.

Stetige Wahrscheinlichkeitsfunktionen lassen sich anhand ihrer Dichtefunktion f(x) und ihrer Verteilungsfunktion F(x) vollständig beschreiben.

Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen - Dichte- und Verteilungsfunktion

Jede stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung wird durch ihre Dichtefunktion eindeutig beschrieben. Mit der Dichtefunktion kann dann auch eine Verteilungsfunktion angegeben werden.

Dichtefunktion stetige Verteilung

Die Dichtefunktion einer stetigen Verteilung wird mathematisch als $\phi (x)$ bezeichnet.

Die Dichtefunktion gibt Dir einen Überblick, wie die Werte verteilt sind. Du kannst aus ihr aber keine Wahrscheinlichkeiten ablesen.

Verteilungsfunktion stetige Verteilung

Wenn Du Wahrscheinlichkeiten $P(X\ge x)$ bestimmen möchtest, verwendest Du die Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsgröße.

Die Verteilungsfunktion bestimmt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Wert einer Zufallsvariablen kleiner bzw. gleich einer festgelegten oberen Grenze ist.

Stetige Verteilung – Beispiel

Die Wahrscheinlichkeitsdichte einer stetigen Zufallsgröße sei

$$\phi (x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{200}}x& 0\le x\le 20\\ 0& \text{sonst}\end{array}$$

In Abbildung 2 siehst Du den Graphen dieser Wahrscheinlichkeitsdichte.

Abb. 2 - Beispiel für eine Wahrscheinlichkeitsdichte.

Es handelt sich um eine Wahrscheinlichkeitsdichte, da $\phi (x)\le 0$ und

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\phi (x)dx={\int }_0^{20}\frac{1}{200}xdx={\left[\frac{1}{400}{x}^2\right]}_0^{20}=\frac{1}{400}·{20}^2-\frac{1}{400}·0^2=\frac{1}{400}·400=1$$

Es ist hier ausreichend, das Integral von $0$ bis $20$ zu bestimmen, da die Wahrscheinlichkeitsdichte nur in diesem Intervall ungleich 0 ist.

Die Verteilungsfunktion dieser stetigen Verteilung ist dann

$$\varphi (x)=\{\begin{array}{ll}0& x<0\\ {\displaystyle \frac{1}{400}}{x}^2& 0\le x\le 20\\ 1& x>20\end{array}$$

Die Verteilungsfunktion für das Intervall $[0,20]$ bestimmst Du, indem Du integrierst:

$$P(X\ge x)={\int }_0^x\frac{1}{200}zdz={\left[\frac{1}{400}{z}^2\right]}_0^x=\frac{1}{400}{x}^2$$

In Abbildung 3 findest Du den Graphen der Verteilungsfunktion.

Abb. 3 - Beispiel für eine Verteilungsfunktion.

Erwartungswert stetige Verteilung – berechnen

Für jede stetige Verteilung existiert auch ein Erwartungswert $\mu$. Du kannst ihn mit folgender Formel berechnen:

Für das obige Beispiel berechnest Du den Erwartungswert wie folgt:

Du brauchst das Integral immer nur für das Intervall bilden, indem die Wahrscheinlichkeitsdichte ungleich $0$ ist.

Median stetige Verteilung – berechnen

Neben dem Erwartungswert kannst Du auch den Median einer stetigen Verteilung berechnen. Der Median und der Erwartungswert sind unterschiedliche Werte.

Für den Median gilt, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Wert links des Medians $50\mathrm{\%}$ beträgt und für einen Wert rechts des Medians auch genau $50\mathrm{\%}$.

Du weißt also, dass der Wert des Integrals $0,5$ sein soll und bestimmst damit den Median $m$.

Spezielle stetige Verteilung

Es gibt einige spezielle wichtige stetige Verteilungen. Hier findest Du einen Überblick. Für jede dieser stetigen Verteilungen gibt es aber auch eine eigene, ausführliche Erklärung.

Normalverteilung

Eine bekannte stetige Verteilung ist die Normalverteilung.

Viele Merkmale und Eigenschaften sind von Natur aus normalverteilt. Dazu gehört unter anderem die Körpergröße.

Ein Sonderfall der Normalverteilung ist die Standardnormalverteilung. Die Standardnormalverteilung liegt vor, wenn der Erwartungswert $\mu =0$ beträgt und für die Standardabweichung ${\sigma }^2=1$ gilt.

Mehr über die Normalverteilung und die Standardnormalverteilung erfährst Du in der Erklärung "Normalverteilung". Klicke einfach auf den Namen.

stetige Gleichverteilung

Eine stetige Zufallsgröße ist gleichverteilt, wenn alle gleich großen Werteintervalle die gleiche Eintretenswahrscheinlichkeit haben.

Die Wahrscheinlichkeitsdichte einer stetigen Gleichverteilung in Intervall $[a,b]$ ist konstant.

Mehr über stetige Gleichverteilungen findest Du in der Erklärung "Gleichverteilung".

Exponentialverteilung

Eine weitere spezielle stetige Verteilung ist die Exponentialverteilung. Mit einer Exponentialverteilung wird häufig die Dauer zufälliger Zeitintervalle bestimmt.

Eine Exponentialverteilung wird durch den Parameter $\lambda$ eindeutig beschrieben.

Wenn Du mehr über die Exponentialverteilung wissen möchtest, sieh Dir die Erklärung "Exponentialverteilung" an.